《2013年新课标高考数学试题分类选析与变式研究——数列与不等式》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2013年新课标高考数学试题分类选析与变式研究——数列与不等式(3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 北京 李彭龄(特级教师) 潘月春许 雪 数列与不等式是高中数学的重要内容,也是学习 高等数学的基础两者的综合常常作为考查学生数学 思维能力的重要内容在历年的高考中,有关数列与 不等式的概念和性质的试题,通常各以一个或两个客 观题出现,特点是“小、巧、活”,而有关数列与不等式 及其他知识综合的试题,多以一个解答题出现 1视点:核心知识,注重考查“三基” 例l (2013年陕西理)设 是公比为q的等 比数列 (1)推导“ 的前r项和公式; (2)设ql,证明数列a +1不是等比数列 Q (1)分2种情况讨论(过程略) 解析(2)假设数列 +1是等比数列,则对任何 正整数k,都有(a+1) 一(a
2、 +1)(a +。+1),即 (“1 q 十1) 一(口l g +1)(“1 q抖 +1),化简得 “1q 一2a1 q +“1q 一0 因为a 0,q0,于是得q 一2q+10,解得 q1这与题设q1矛盾所以q1时,数列a + 1)不是等比数列 命题得证 变式研究 设S 表示数列a 的前”项和,已 知数列s 是公比为q(q1)的等比数列,判断a 是否为等比数列,并证明你的结论 答案 “ 不是等比数列(证明略) 例2 (2013年全国新课标I卷)设等差数列 (a 的前 项和为S ,若S =一2,S =0,S + 一 3,则m一( ) A 3; B 4; C 5;D 6 当啪2时,由题设得S 一
3、S +n ,故 解析 am一0 (一2)一2,又S 一S 十 ,故 a 一30=3,所以公差d=a 一 一a =1由S 一0 得优“ + 1:0,及 2,得al一一m 1 代人S 一一2中,得( 一1)(一 )+ 1一一2,解得 一5故选C 彰彝 篓 翼 化是关键 变式研究等差数列a 的前 项和为S ,已知 以 1+a +1 D“ 20,S2 】一38,则 一( ) A 38; B 2O; C 10;D 9 答案C 黼 例3(2013年浙江卷)在公差为d的等差数列 a 中已知a 一10,且 ,2n 4-2,5a 成等比 数列 (1)求d,a ; (2)若(,o),则厂( )=zz一 2Oz(
4、o)令厂 ( )一0,解得z= 206号易得 fmi(z)一 (。号)而60); 函数取得最小值时,相应的自变量值可以是茸定义域 中的实数,而数列(式)取得最小值时。相应的自变量 值(即项数)必须是正整数 变式研究 (20l3年江苏卷)在正项等比数列 “ 中,“5一-4 -川6+“73,则满足“l+“2十4-“ a n。 的最大正整数n的值为 答案 12 例7(201 3年湖北卷)已知5 是等比数列a 的前n项和,S ,S ,S。成等差数列,且 +n。+a 一 18 (1)求数列a, 的通项公式; (2)是否存在正整数n,使得s 2 0137若存 在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明
5、 理由 Q (1)设等比数列 的公比为q,则由题设解 ,解析得n 一3,q一一2所以等比数列。 的通项 公式是“ =3(2)” ,nN (2)假设存在正整数 ,使S 一 1一(2) 2 01 3成立,则(一2)”一2 012 当 一2k,kN 时,适合式的正偶数 不存 在;当 =2k一1,kN 时,式等价于2雅 2 o12 由2。 2”一2 0482 012可得是6 所以使得S 2 013的所有正整数n的集合为 nl”一2k一1,kN 。且尼6 喜 豢 至囊 法)本题第(2)问用的是假设法(表述模式是:假设存 在,满足,如本题确实求出了满足条件的 , 则“存在”;否则就“不存在”) 3 亮点:
6、适度创新,考查探究能力 今年的高考数学试题中对于3种题型(选择题、 填空题和解答题)各设计了一些“新颖不离基础,常规 不失灵活”的好题,考查以思维能力为核心的各种数 学能力,引导中学数学教学积极稳妥地实施新课标, 既体现了“以本为本,以纲为纲”,又有利于培养学生 的实践能力和创新意识 例8(2013年安徽卷)如下图,互不相同的点 A。,A。,A ,和B ,B ,B 分别在角0的两 A B, B |A一的面积均相等设 OA 一d 若n。:1,“ 一2,则数 列 的通项公式是 Q 由OA 一“ 一l,fj以z , 解析“ 一2,得A A =l,从 而A B。是OA:B。的中位线 没SfM 一So,
7、贝0 S梯形A , 。= A, B 相互平行,所以OAi B fM】lrOA 、2 S ( B 、OA l。 3S。因为所有的 GOOA B ,即有 又因为所有梯形A B B A ( 2)的面积均 相等,故s B 一s +s梯形A 口, 一s川1lJ_+ ( 一1)S梯形 BII32A2一S)+3(”一1)S一(3n一2)S 于 是 =( )。,即a 一 ( 2) 当”一1时,“。一1_也满足上式故数列 的通 项公式是“ 一3一2, N 彝妻嚣 有机联系,凸显问题的数学本质,实现了“多想少算考 能力”的命题理念 二:例9 (2013年全国新课标T卷)设、 B c 的三边长分别为a 6 , ,A
8、 B C, 的面积为S , 一1,2,3,b1c1,bl十Cj一2a】,以 _一“ , , 1= , 】一下aqTb,,则() AS 为递减数列; BS 为递增数列; C S: )为递增数列,S 为递减数列; DS。 。为递减数列, s 为递增数列 析由题设 1+c-2(2 n1一 L( 2a 。而b1+c12a10,故 b +c 一2a 一 (6 _l+c l 2a 1)一 (62+ 22a 2)=一 (61斗 i一2a1)一0, 所以b +C =2a 。即b t-(, 一2a , 2N 取 -二4 b一4一(一1)”壶,f 一4十(一】)“者, 由海伦(Heron) 秦几韶公式得 S 一 , (P “ )( 一b )(P 一C )一 一 显然S 为递增数列,排除A,CD,故选B (作者单位:北京市昌平区第一中学) 相互平行,且所有梯形 人生伟业的建立,不在能知,乃在能行