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1、第12期 沈顺良:2013年浙江省数学高考试题中的基本交汇 。37 2013年浙江省数学高考试题中的基本交汇 沈顺良 (海盐县教研室浙江海盐314300) 普通高中数学课程标准在实施建议中提 出,要强调对基本概念和基本思想的理解和掌握, 重视基本技能的训练,掌握它们所体现的数学思想 方法2013年浙江省数学高考试题较多地以基本 知识的交汇形式来考查,突出了对基础的要求 1基本知识交汇。理解概念 例1 如图1,F。,F2是 2 椭圆c。: +Y =1与双曲 线C 的公共焦点,A,B分别 是c。,c 在第二、四象限的 公共点,若四边形AF BF2 为矩形,则c:的离心率是 ( ) 图1 A B C
2、3-, D (2013年浙江省数学高考理科试题第9题) 分析本题是双曲线和椭圆的交汇,可以将它 们的关键点构成的矩形转化为直角三角形由椭圆 定义和勾股定理得 lAF1 I +(4一IAF1 I) :12, 从而 IAF J=2 4-2, 这2个解即为lAF I,I J,再由双曲线第一定义 求得双曲线的实轴长为2 ,从而得到其离心率为 - 另外,理科卷的第3题是对数和指数2个基本 运算性质的小综合,由于知识点的交汇能够更多地 创设陌生的情境,因此更能有效地考查学生对知识 的理解程度 2基本图形组合,突出化归 例2在AABC中,C=90。, 是 c的中点,若sinBAM= 1, 则sin_BAC=
3、 (2013年浙江省数学高考理科 试题第16题) 图2 分析这是2个共直角顶点的直角三角形的 组合 1 思路1将已知条件sin_BAM= 1中的角化 D 归为2个直角三角形的内角,即BAM= BAC一 MAC,然后利用直角三角形的三角函数求解即 可 思路2通过斜AAMB的正弦或余弦定理,运 1 用条件sin_BAM=-4 -,其中AM,AB的长度同样需 J 要化归到2个直角三角形中 3基本数形结合,运用思想 例3 已知口,b,cR,函数,( )=CIX, + + C若 0)= 4) 1),则 ( ) A口0,4a+b=0 B口0,2a+b=0 D口 1)可 得抛物线的对称轴为 =2且开口向 上
4、,即得答案为A 例4已知函数Y= )的导函 数Y=厂 ( )的图像如图3所示,则该 函数的图像是 图3 ( ) (2013年浙江省数学高考文科试题第8题) 分析观察Y=厂 ( )的图像,得到函数Y= 厂( )在(一1,1)内是单调递增的,由导函数的正值 大小得到函数递增的速度是慢一快一慢故选B 类似的还有理科卷的第8题,通过导函数的正 负值和0得到函数增减性,从而确定何时取到极大 或极小值理科卷的第22题和文科卷的第21题 中,导函数都是二次函数,利用其图像可辅助解题 38 中学教研(数学) 4基本图形与基本函数交汇,自然转换 例5设AABC,P。是边AB上一定点,满足 1 P。B= B,且对
5、于边AB上任一点P,恒有舶 叶 PCPoBPoC,则 ( ) A ABC=90。 B BAC=90。 CAB=AC DAC=BC (2013年浙江省数学高考理科试题第7题) 分析本题是关于向量数量积的最值问题,可 以通过添辅助线(点),转化为基本直角三角形或 向量加法基本图形来简化向量数量积运算,从而化 为求基本函数的最值 思路1如图4,作CO_LAB,垂足为0,显然点 P在线段BO上,从而 一PB :I商1I 1cos_BPC: -+- I胎Il PD I 由已知赢 的最小值为 ,即I赢1 1 PDl的最大值为I P0西Il I,知点P。为曰D的 中点,从而得到0为BA的中点,因此BC=AC
6、,答 案为D A 图4 图5 思路2如图5,取 C中点D,则 PBPC=(PO+OB)(P0+oc)-k = - _+_- I I 一 1 ff-CI 由已知得,当点P为P。时,I P I 取得最小值,即 OP LAB,从而答案为D 5基本方法交汇,灵活运用 例6 设e ,e 为单位向量,非零向量b= e+yez, ,yR若 ,e2的夹角为 IT,则 的 最大值等于 (2013年浙江省数学高考理科试题第17题) 分析此向量题的背景为一个基本平行四边 形图形的边长和夹角问题:一是运用解三角形或平 行四边形的方法(余弦定理或平行四边形性质); 二是化为基本函数求最值的方法它们都是通用的 基本方法
7、如图6,令I b l_ ,由余弦定理z = +Y + v3xy,得 () = +(考) + =( + 1_, 其最小值是,因此所求最大值为2 另外本题也可以建立直角坐标系, ye l,0)+y 利用向量坐标运算方法求解 f _二 五 图6 图7 2 例7如图7,点P(0,一1)是椭圆c1: + 2 =1(口b0)的一个顶点,C 的长轴是圆c : U +Y。=4的直径2 ,f 是过点P且互相垂直的2 条直线,其中2 交圆C:于点A,B,f:交椭圆C 于 另一点D (1)求椭圆c 的方程; (2)求AABD面积取最大值时直线Z 的方程 (2013年浙江省数学高考理科试题第15题) 2 分析第(1)
8、小题易得椭圆方程为 +Y =1 一 第(2)小题中AABD满足AB上 ,故其面积计算 可分别求线段AB,DPAB是圆0的弦长,可根据 圆的基本性质利用垂径定理求之,再用同一变量字 母求出线段 的长后将AABD面积化为关于该 变量字母的函数,从而求得函数最值上述垂径定 理求弦长和利用函数求面积最值,都是通用的基本 方法 6立体与平面的交汇,清晰转化 例8在空间中,过点A作平面耵的垂线,垂 足为B,记B-L(A)设OL, 是2个不同的平面, 对空间任意一点P,Q = (P),Q = (P),恒有pQ =PQ ,贝0 ( ) 第12期 王远征:解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法 。39 A
9、平面O与平面 垂直 B平面 与平面 所成的(锐)二面角为45。 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐)二面角为60。 (2013年浙江省数学高考理科试题第1O题) 分析按照定义的对应,点P, (P), (P), Q ,Q 都在过点P且垂直于Ol, 交线的同一平面 内,且点P (P), (P),0构成一对角为直角的 平面四边形(如图8所示)易得当四边形为矩形 时,Q ,Q 重合满足条件故选A C 图8 图9 例9 在四面体ABCD中,AD j-平面BCD, BC_I_CD,AD=2,BD=2 ,M是AD的中点,P是 BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC (1)证明:P()平面
10、BCD; (2)若二面角CBMD的大小为60。,求BDC 的大小 (2013年浙江省数学高考理科试题第20题) 分析第(1)小题可以根据点P,Q的特殊位 置条件,利用平行四边形找到平面BCD内和PQ 平行的直线(分别过点P,Q作PO上BD,QF上CD, 联结OF)第(2)小题则通过作出二面角cBMD 的平面角,化为平面三角形求解,作CG上BD,GH_I_ BM,联结CH,因为CG上AD,所以CG上面ABD,得 到CG上BM,于是BM上面CGH,故CHG就是二 面角CBMD的平面角而其中三角形各边长也都 可以利用各自所在的直角三角形由面积法来求 基本的交汇能给试题带来新颖,也能更好地考 查学生对
11、基本知识的理解、对基本技能的掌握、对 基本思想方法的运用程度日常教学中我们要突出 数学的基础知识、基本技能和数学的通性通法,让 学生把握数学对象的基本性质、处理数学问题基本 常用的思想方法 解答与“完全平方数有关的竞赛试题的一般方法 王远征 (深圳市南山区蛇口中学广东深圳518076) 在数学竞赛试卷中,频繁出现这样的一类问 题:求自然数凡,使得关于凡的一个二次多项式 r, +on+b的值是完全平方数(其中o,b为常数)。 在此,笔者给出解答这类问题的一般方法,即设参 数、配方,对多项式进行因式分解,同时将常数分解 成整数乘积的形式,然后构造方程组,进而求出满 足题设条件的自然数和所设参数的值
12、举例介绍如 下: 例1 已知tt是自然数,且n 一17n+73是完 全平方数,那么n的值是或_ (第13届希望杯数学竞赛初二年级一试试题) 分析依题意设 一17n+73:m (m是自然 数),配方得 (2nl7) +3=4m , 移项,因式分解,把常数一3也分解成2个整数乘 积的形式,得 (2n一17一zm)(2nl7+2m)= 一3=一13=一31 因为7,,n都是自然数,所以2凡一17+2m和2n一 172m都是整数,且2nl7+2m2n一172m, 于是 f2nl7+2m=3: I 2n一172m=一1, 一 f2n一17+2m=1; 戥 I2n一172m:一3, 解得 n=:9。或1fn=:8m m , I =l l =上 故 的值是8或9 注该方法通俗易懂,有普遍的实用性,且解 题过程简洁明了,易于掌握和应用 例2关于m, 的方程 +一1一 : 3的整 数解(m,n):一 (2013年新知杯上海市数学竞赛试题第6题) 分析视“m”为常数,由原方程整理成关于凡 的一元二次方程,得 (43m)n +4ran一4=0, 此方程有整数解的必要条件是A=16m 一48m+