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1、第12期 沈顺良：2013年浙江省数学高考试题中的基本交汇 。37 2013年浙江省数学高考试题中的基本交汇 沈顺良 (海盐县教研室浙江海盐314300) 普通高中数学课程标准在实施建议中提 出，要强调对基本概念和基本思想的理解和掌握， 重视基本技能的训练，掌握它们所体现的数学思想 方法2013年浙江省数学高考试题较多地以基本 知识的交汇形式来考查，突出了对基础的要求 1基本知识交汇。理解概念 例1 如图1，F。，F2是 2 椭圆c。： +Y =1与双曲 线C 的公共焦点，A，B分别 是c。，c 在第二、四象限的 公共点，若四边形AF BF2 为矩形，则c：的离心率是 ( ) 图1 A B C
2、3-， D (2013年浙江省数学高考理科试题第9题) 分析本题是双曲线和椭圆的交汇，可以将它 们的关键点构成的矩形转化为直角三角形由椭圆 定义和勾股定理得 lAF1 I +(4一IAF1 I) ：12， 从而 IAF J=2 4-2， 这2个解即为lAF I，I J，再由双曲线第一定义 求得双曲线的实轴长为2 ，从而得到其离心率为 - 另外，理科卷的第3题是对数和指数2个基本 运算性质的小综合，由于知识点的交汇能够更多地 创设陌生的情境，因此更能有效地考查学生对知识 的理解程度 2基本图形组合，突出化归 例2在AABC中，C=90。， 是 c的中点，若sinBAM= 1， 则sin_BAC=
3、 (2013年浙江省数学高考理科 试题第16题) 图2 分析这是2个共直角顶点的直角三角形的 组合 1 思路1将已知条件sin_BAM= 1中的角化 D 归为2个直角三角形的内角，即BAM= BAC一 MAC，然后利用直角三角形的三角函数求解即 可 思路2通过斜AAMB的正弦或余弦定理，运 1 用条件sin_BAM=-4 -，其中AM，AB的长度同样需 J 要化归到2个直角三角形中 3基本数形结合，运用思想 例3 已知口，b，cR，函数，( )=CIX, + + C若 0)= 4) 1)，则 ( ) A口0，4a+b=0 B口0，2a+b=0 D口 1)可 得抛物线的对称轴为 =2且开口向 上
4、，即得答案为A 例4已知函数Y= )的导函 数Y=厂 ( )的图像如图3所示，则该 函数的图像是 图3 ( ) (2013年浙江省数学高考文科试题第8题) 分析观察Y=厂 ( )的图像，得到函数Y= 厂( )在(一1，1)内是单调递增的，由导函数的正值 大小得到函数递增的速度是慢一快一慢故选B 类似的还有理科卷的第8题，通过导函数的正 负值和0得到函数增减性，从而确定何时取到极大 或极小值理科卷的第22题和文科卷的第21题 中，导函数都是二次函数，利用其图像可辅助解题 38 中学教研(数学) 4基本图形与基本函数交汇，自然转换 例5设AABC，P。是边AB上一定点，满足 1 P。B= B，且对
5、于边AB上任一点P，恒有舶 叶 PCPoBPoC，则 ( ) A ABC=90。 B BAC=90。 CAB=AC DAC=BC (2013年浙江省数学高考理科试题第7题) 分析本题是关于向量数量积的最值问题，可 以通过添辅助线(点)，转化为基本直角三角形或 向量加法基本图形来简化向量数量积运算，从而化 为求基本函数的最值 思路1如图4，作CO_LAB，垂足为0，显然点 P在线段BO上，从而 一PB ：I商1I 1cos_BPC： -+- I胎Il PD I 由已知赢 的最小值为 ，即I赢1 1 PDl的最大值为I P0西Il I，知点P。为曰D的 中点，从而得到0为BA的中点，因此BC=AC
6、，答 案为D A 图4 图5 思路2如图5，取 C中点D，则 PBPC=(PO+OB)(P0+oc)-k = - _+_- I I 一 1 ff-CI 由已知得，当点P为P。时，I P I 取得最小值，即 OP LAB，从而答案为D 5基本方法交汇，灵活运用 例6 设e ，e 为单位向量，非零向量b= e+yez， ，yR若 ,e2的夹角为 IT，则 的 最大值等于 (2013年浙江省数学高考理科试题第17题) 分析此向量题的背景为一个基本平行四边 形图形的边长和夹角问题：一是运用解三角形或平 行四边形的方法(余弦定理或平行四边形性质)； 二是化为基本函数求最值的方法它们都是通用的 基本方法
7、如图6，令I b l_ ，由余弦定理z = +Y + v3xy，得 () = +(考) + =( + 1_， 其最小值是，因此所求最大值为2 另外本题也可以建立直角坐标系， ye l，0)+y 利用向量坐标运算方法求解 f _二 五 图6 图7 2 例7如图7，点P(0，一1)是椭圆c1： + 2 =1(口b0)的一个顶点，C 的长轴是圆c ： U +Y。=4的直径2 ，f 是过点P且互相垂直的2 条直线，其中2 交圆C：于点A，B，f：交椭圆C 于 另一点D (1)求椭圆c 的方程； (2)求AABD面积取最大值时直线Z 的方程 (2013年浙江省数学高考理科试题第15题) 2 分析第(1)
8、小题易得椭圆方程为 +Y =1 一 第(2)小题中AABD满足AB上 ，故其面积计算 可分别求线段AB，DPAB是圆0的弦长，可根据 圆的基本性质利用垂径定理求之，再用同一变量字 母求出线段 的长后将AABD面积化为关于该 变量字母的函数，从而求得函数最值上述垂径定 理求弦长和利用函数求面积最值，都是通用的基本 方法 6立体与平面的交汇，清晰转化 例8在空间中，过点A作平面耵的垂线，垂 足为B，记B-L(A)设OL， 是2个不同的平面， 对空间任意一点P，Q = (P)，Q = (P)，恒有pQ =PQ ，贝0 ( ) 第12期 王远征：解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法 。39 A
9、平面O与平面 垂直 B平面 与平面 所成的(锐)二面角为45。 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐)二面角为60。 (2013年浙江省数学高考理科试题第1O题) 分析按照定义的对应，点P， (P)， (P)， Q ，Q 都在过点P且垂直于Ol， 交线的同一平面 内，且点P (P)， (P)，0构成一对角为直角的 平面四边形(如图8所示)易得当四边形为矩形 时，Q ，Q 重合满足条件故选A C 图8 图9 例9 在四面体ABCD中，AD j-平面BCD， BC_I_CD，AD=2，BD=2 ，M是AD的中点，P是 BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC (1)证明：P()平面
10、BCD； (2)若二面角CBMD的大小为60。，求BDC 的大小 (2013年浙江省数学高考理科试题第20题) 分析第(1)小题可以根据点P，Q的特殊位 置条件，利用平行四边形找到平面BCD内和PQ 平行的直线(分别过点P，Q作PO上BD，QF上CD， 联结OF)第(2)小题则通过作出二面角cBMD 的平面角，化为平面三角形求解，作CG上BD，GH_I_ BM，联结CH，因为CG上AD，所以CG上面ABD，得 到CG上BM，于是BM上面CGH，故CHG就是二 面角CBMD的平面角而其中三角形各边长也都 可以利用各自所在的直角三角形由面积法来求 基本的交汇能给试题带来新颖，也能更好地考 查学生对
11、基本知识的理解、对基本技能的掌握、对 基本思想方法的运用程度日常教学中我们要突出 数学的基础知识、基本技能和数学的通性通法，让 学生把握数学对象的基本性质、处理数学问题基本 常用的思想方法 解答与“完全平方数有关的竞赛试题的一般方法 王远征 (深圳市南山区蛇口中学广东深圳518076) 在数学竞赛试卷中，频繁出现这样的一类问 题：求自然数凡，使得关于凡的一个二次多项式 r, +on+b的值是完全平方数(其中o，b为常数)。 在此，笔者给出解答这类问题的一般方法，即设参 数、配方，对多项式进行因式分解，同时将常数分解 成整数乘积的形式，然后构造方程组，进而求出满 足题设条件的自然数和所设参数的值
12、举例介绍如 下： 例1 已知tt是自然数，且n 一17n+73是完 全平方数，那么n的值是或_ (第13届希望杯数学竞赛初二年级一试试题) 分析依题意设 一17n+73：m (m是自然 数)，配方得 (2nl7) +3=4m ， 移项，因式分解，把常数一3也分解成2个整数乘 积的形式，得 (2n一17一zm)(2nl7+2m)= 一3=一13=一31 因为7,，n都是自然数，所以2凡一17+2m和2n一 172m都是整数，且2nl7+2m2n一172m， 于是 f2nl7+2m=3： I 2n一172m=一1， 一 f2n一17+2m=1； 戥 I2n一172m：一3， 解得 n=：9。或1fn=：8m m ， I =l l =上 故 的值是8或9 注该方法通俗易懂，有普遍的实用性，且解 题过程简洁明了，易于掌握和应用 例2关于m， 的方程 +一1一 ： 3的整 数解(m，n)：一 (2013年新知杯上海市数学竞赛试题第6题) 分析视“m”为常数，由原方程整理成关于凡 的一元二次方程，得 (43m)n +4ran一4=0， 此方程有整数解的必要条件是A=16m 一48m+
