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1、控稿邮箱：sxjkvip 163COrn 数学教学通讯(教师版) 试题研究试题探究 高中向量法解题的细分及应用 罗雪梅 广东清远英德中学513055 嘴 消点 她碱媒馅帧糌 料媳 向量从大小与方向两个维度刻画现实世界，是沟通代数、几 何、三角之间的桥梁新课程改革以后，向量从幕后走到台前，成 为高中数学的核心概念，而运用向量法解题也成为了人们关注 的焦点本文试图把“向量法”进步细分，使解题更具操作性 0 待定系数法 待定系数法是常用的数学方法涉及向量的平行、三点共 线、点的轨迹、最值问题等都可以尝试利用待定系数法 ，J 图1 例1如图1。在ABC中，设 AD是BC边上的中线任作一直 线，顺次交
2、B，AC，AD于点P，Q， 求证： AB， AD，。 成等差数列 求让： 。 成寺羞教夕 C 证明注意到 与 共线、 翮与 共线、 与 共线设 = ， =6 ， ，只须证+c=26即可由 是中线得 2A-3= ， 6 I+c ， 寺 寺 -由，P，Q 三点共线得蠢+ l，从而命题得证 回路法 所谓回路法，就是根据向量相加的“首尾相连法则”，列出多 个向量等式，构造回路 Q 图2 例2如图2 ， 分别为ABC的边AB， 。AC的中点，连结BN并 延长至点P使 B， 连结CM并延长至点Q， 使QM=MC,求证：P，A， p三点共线 证明因为 =赢 = +葫= =痢+廊：痂+砌= ， 所以P，A，Q
3、-点共线 回路法就是这样“绕来绕去”但别具一格的解题方法 消点法 几何图形的生成有先后顺序，一般是先作几个任意点。再根 据条件作出其他点约束点，例如连结两点成为线段，取线段 的中点或定比分点，作线段的交点等 所要证明的结论或要计算的几何量总可以写成含有约束点 的等式或数学表达式消点法就是把后作出的点代换成先前的 点，直到消去所有的约束点，使问题得以解决的一种方法消点 法的主要工具是定比分点的向量公式： +(1一 l+A ) ，即向量 向量 ，商线性表示，从而消去定比分点 例3如图3，点G是ABC的重心，经过点G的一条直线分别 交AB，AC于JD，E两点，求证： B AC 一I-=j AD AE
4、 分析连结AG并延长交日C 于点，则可把点G看做是蔚和 的定比分点把点 看作是 赢的定比分点 B 证明连结AG并延长交BC A F 图3 C 于点F，贝IJ最F为Bc的中 设 ， = ,ia-d= (力+ )=号 詈砘因为G，D，E三点共线，所以 3+号= 3 3 3 3 所以 s，即 + 一0 数量积法 向量数量积的非坐标形式为口6=lal 1bl cosO，坐标形式为口 b=x1 2+y1yz，其rPa=(xl，Y1)，西=( 2，Y2) 061 试题研究试题探究 数学教学通讯(教师版) 投稿邮箱：sxjkvip 163COrn 数量积法通常用来解决垂直问题、角度问题及线段长度 问题 1证
5、明垂直n J_beab=0 例4设ABCD是圆的内接四边形对角线ACj_BD且4C与 肋相交于点()，肘是AB的中点求证：OMDC 证明如图4，20-70 ：( + )( + )： + 一foA I10c DB11l=0，所OMDC A 厂。 D 图4 图5 例5在直棱柱 C 曰 C 中，每条棱的长均为2，D为CC 中 点求证：AB 上面A n 证明如图5， ：( + )( +面)：一2+22 cos60=0赦 曰 j-A n ( + )( 一 )： 一 2=0，所以 B，上 A B 而AB L面AtBD 2简化等式 由于互相垂直的向量的数量积为O所以可以用某向量a点 乘一个向量等式的两端，把
6、和a垂直的向量消去，从而达到简化 等式的目的此时，法向量往往可以派上用场 例6设点D在A启c内部，且有 +2 +3 ：0，求O ， AOABAOBC的面积比 解析如图6，设P为4C的单位法向量作BD J_ACOE上 AC，BD=E- ( 痢) f + 1 OE+一OE+30E 30E，所以5一=了1s出 同理可得s蚴jj=吉5肼，JS 凸Bc= |s昭， 从而5：5fJ4B：S08( 2：3：1 A 图6 C B D P 图7 C 3证明线段相等 倒7如图7，点D是等腰三角形ABC底边BC的中点点P是BC 边上任意一点，作PQAB，PR上AC，Q，R为垂足，求证：DDR 分析D ：D 铮f f
7、=f 2： 硼 证明因为曰QPACRJP，所以 = ,Bq艘=CR阳 。一麻 =( +麻)( 一麻)：(葫+葡+ +蔬)( 一 赢)=(司+葫)( 一赢)= 赢+商司 Dq=DR 4证明角相等 例8设四边形ABCD中AD=BC，M，分别为AB与CD的中点。 连结MN，没AD与M的夹角为 1，BC与肘的夹角为 2求证： I=L2 F 证明如图82砌： +蕴故 2 ： + 动2商砌： + 蔬因为AD c所以 = 从而 砌： 。翮即 A ll翮f s 1=J动f砌 COS 2，化简得COS 1=COS 2，由 于 1， 2(0，耵)，所以 1= 2 肘 图8 (上接第56页)活运用正、余弦函数的有界
8、性 ： 极端原理法 即通过考虑某数学对象在极端状态具有的性质，从而排除 错误选项确定正确选项的方法 例8(2005N)若0 3si B 孓厂( )在 (0，詈)是连续函数，所 z)在(0，詈)上的函数值可正，可负， 也-可为零选D 解析=设厂( )=2 一3si一， (0，詈)，则由r( )=23c。 ，解得xareeos0 arecos ，所以 厂_ )在(0,arcc。s 1上是减函数 )在 ，解得 ，所以 厂_ )在I 0s詈f上是减函数 )在 j J arcc。s了2，詈)上是增函数，所 ) (arcc。s号) 0) 又 因为 詈J=盯一3o，所以 )在(0，詈)上的函数值可正，可负，也 可为零选D 注：该题解析二为单调性法，解题过程主要运用了函数的单 调性 以上8种方法是比较两数(或式)大小的最常用、最基本的 方法诚望读者朋友通过解题实践进一步加深对它们的理解与 体会
