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1、1,第三章 线性系统的时域分析,三性分析：稳定性 稳态特性 动态特性,3.5 线性系统的稳定性分析,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。 研究系统的稳定性，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,2,3.5.2 稳定的充要条件 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。,基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。,3,设闭环系统的传递函数：,上式表明，线性系统稳定的充要条件是
2、：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在平面的左半部。,对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出：,设 为系统特征方程 的根，而且彼此不等。系统输出：,4,一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定,5,3.5.3 劳思-赫尔维茨稳定判据,一、稳定性的初步判别,设系统的特征方程为：,则系统稳定的必要条件为：特征方程的各项系数均为正且不缺项。,特征方程变为：,由于,因此，上式展开后的各项系数均大于零。,对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的系数全为正值，是系统稳定的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均
3、为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。,6,二、赫尔维茨稳定判据,线性系统稳定的充分必要条件是：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正。,行列式的规律: 对角线由a1,a2,an组成。以对角线元素为标准，在各列上，从上到下系数序号递减，直到a0; 从下到上系数序号递增，直到an; 其它空白项为零。,7,三、劳思稳定判据,将系统特征方程写成标准形式：,劳斯表组成规律：表中的第一行由特征方程的1、3、5、项系数组成，第二行由特征方程的2、4、6、项系数组成；计算表中某行系数时，分母为上一行第一列的值，分子为上两行第一列和上两行的待求系数后一列构成的2阶行列式乘以-1；劳
4、斯表中的空白项看成0值。计算中各行可同乘以任一正数，不影响判定结果。,8,例：已知系统特征方程为,试用劳斯判据判别其稳定性。,9,四、劳思稳定判据的特殊情况,1、劳斯表中某行的第一列为0，而其余各项不全为0。,当计算下一行时，将出现无穷大数，从而无法进行判定。,方法1：在原特征方程中乘以（s+a)因子，构成新的特征方程，其中a为大于0的正数，再对新的特征方程进行劳斯表判定。,10,方法2：用一个有限小的变量代替第一列为零的那一项，然后按通常方法计算其余各项。如果的上、下两项符号不同，则表明有一次符号变化，系统不稳定。,11,2、劳斯表中出现全0行,解决办法：用全0行的上一行的系数构造一个辅助方程，并对辅助方程求导，所得系数取代全0行的各项。辅助方程的根为特征方程的共轭虚根。,12,五、劳思稳定判据的应用,13,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂线 的右方。,14,通过劳斯判据，可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,例： 已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答：（1） 时，闭环系统是否稳定？（2） 时，闭环系统的稳定条件是什么？,15,（2） 时，开环传函为：,列劳斯表,由此得出系统稳定的条件为,
