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1、William-Warnke 5 参数模型简介摘要：本文从 William-Warnke 5 参数模型的由来、其表达式的推导以及该模型如何在 ANSYS 中应用等方面简单的介绍了该强度准则。说明了该破坏准则在模拟混凝破坏的合理性及其优点。关键字：混凝土；破坏准则；William-Warnke 5 参数模型；ANSYS一、本构模型的由来有侧压力（围压）的混凝土三轴实验是 Richart 于 1928 年首次进行的。后来，随着三轴实验机的改进，可以进行不同比例（ ）的三轴强度实验。123,由国内外的三轴实验得出的混凝土破坏曲线具有以下特征。 （1）三向应力下混凝土的破坏面是与三个方向应力都有关的函
2、数，是一个在等压轴方向开口的曲面，即在三向等压的情况下，混凝土强度随着压力增强而提高。 （2）这个曲面是一个光滑的凸曲面。无论在偏曲面上截面的外形曲线还是在子午面上的截线都是光滑的凸曲线。 （3）在 =常数的子午面上的截线是曲线，不是直线；在 =常数的偏平面上的外形曲线是非圆曲线，但随着 的增大而越来接近圆形。因此，许多学者针对混凝土的这些破坏特点，对古典强度理论做出了改进，提出了包含更多参数的破坏模型。其中 William-Warnke （1975）建议一个三参数强度准则模型。模型的特点是在偏平面上形成三轴对称凸面光滑边三角形。当 时，偏平面退化圆形。12但是该模型子午线即 与 或 关系仍然
3、为直线。后来考虑到三参数模型子午1I线为直线的缺点，与实现相差比价大，因此在此基础上提出来更加普遍的William-Warnke 五参数强度准则模型。二、模型的表达式在模型中弯曲的子午线有二次抛物线表达式来描述，偏平面中的非圆迹线有椭圆曲线对 060的每个部分给予近似。因此，完整破坏面的表达式分成两个部分：第一，对于 060，推导偏斜截面的椭圆表达式；第二，按二次抛物线来近似拉、压子午线，然后将两条子午线由偏曲线为基准面的椭球面连起来。2.1 偏平面表达式William-Warnke 模型在偏平面上为三轴对称凸面光滑三角形，因此只需要研究 060部分。该部分曲线为一段椭圆曲线。当长短轴为 a，
4、b 时，椭圆方程为： （1）2(,)0xyfab图 1 为用 x、y 作为主应力坐标轴， 、 作为极坐标轴对 1/4 椭圆曲线的 0至 60部分的分析。在 =0和 =60时， 和 分别垂直于23P tc椭圆上的点 和 的切线。这样，短轴 y 轴与 重合，且在 点1(0,)b2(,)Pmnt 1P与椭圆成直角相交。a 、 b 可用 、 来确定。ttc图 1 William-Warnke 在偏平面上的投影图 2 1/4 椭圆曲线在椭圆上， 外向法向方向向量可用下述偏微分方程求得2(,)Pmn（2）22241/(/,)(/,)/fxymanbf因此可得到 a、b 的关系 （3）22mabn点坐标当用
5、向量 、 和椭圆短轴 b 表示时，有2(,)Pmntc（4）32cm1()2tcn由于 在椭圆上，所以有2(,)Pn（5）3421nab整理得（6）2222()5445ctcttctab将直角坐标转换为极坐标，取（7）2sinxcos()tyb则极坐标椭圆曲线方程为（8）222s()si 1tab解极坐标 ，当 060时，可得()（9）2 2221/2)cossinsicost ttabbaa将式（6）代入式（9）中，得到 与 、 和 的关系()tc（10）22221/2()cos4)os54() (cct ttcb相似角 公式为（11）1232 1/21cos()()()2.2 拉压子午线表
6、达式William-Warnke（1975）考虑到三参数模型子午线为直线的缺点，提出来更普遍的拉、压子午线表达式：（12）201(),05omtt mccccaffff （13）201(),6ottccccbffff由于拉、压子午线交于静水压力坐标轴上， （相对于静水拉力或三0mcrf轴拉力 ） ，因此只需要五个参数来确定。tf模型的偏平面和子午线如符合下列情况时，则呈外凸状，即当 012,0/tcaabb ， ，这种模型子午线向负静水压力轴展开，但当高静水应力下，子午线可能与与静水压力骤相交，这是不符合试验结果的。因此规定了 1/2 / 1 即限制tc拉、压子午线试用的静水压力的上限值，这样
7、准则适用范围内的子午线便不可能出现与静水压力轴相交的不合理现象。2.3 参数的确定确定参数的条件：（1） 单轴抗压强度 （=60 ， 0） ；cfcf（2） 单轴抗拉强度 （=0） ，采用比值；t（3） 二轴等压强度 （=0， 0） ，采用 比值；bcfbcfbccff（4） 在拉子午线上的三轴强度 ；1(,)(,)m（5） 在压子午线上的三轴强度 ；2(,)(,)mccff（6） 两子午线相交于 ，此时 。0)0;motccrrf因此可以求得拉子午线参数为：（14）201211 12243915()(65)62()(39bcbcbctct bcttbct tbctcttbcaffafffff
8、rfa压子午线参数为：（15）20112222536()+-153brb（ ）三、William-Warnke 模型在 ANSYS 中的应用ANSYS 的 SOLID65 单元是专门为混凝土、岩石等抗压能力远大于抗拉能力的非均匀材料开发的单元。他可以模拟混凝土中的加强钢筋，以及材料的拉裂和压溃现象。她是三维 8 节点等参元 SOLID65 的基础上，增加了针对混凝土性能参数和组合式钢筋模型。由于混凝土材料的复杂性，混凝土的强度准则有考虑 1-5 个参数的多种方法。一般来说，强度准则的参数越多，对混凝土强度性能的描述就越精确。SOLID65 采用的是 William-Warnke 五参数强度模型
9、，其中需要的材料特性可通过 ANSYS 材料属性定义对话框完成。如图 3 所示图 3 SOLID65 单元破坏准则参数对话框中 9 个参数的含义依次为：（1） 张开裂缝的剪切传递系数；（2） 闭合裂缝的剪切传递系数；（3） 抗拉强度；（4） 单轴抗压强度；（5） 双轴抗压强度；（6） 静水压力；（7） 静水压力下的双轴抗压强度；（8） 静水压力下的单轴抗压强度；（9） 材料拉裂后的应力释放因子。从 William-Warnke 五参数强度模型理论可知：在低静水压力和高静水压力状态下，混凝土的性能是不同的。在低静水压力状态下，只需要输入建立传递系数与单轴抗压强度即可。其他的参数取缺省值；在高静水
10、压力状态下，需要输入上述 1-8 个参数。因此通过 SOLID65 单元可以模拟三轴受力下的混凝土 William-Warnke 五参数强度准则模型。四、总结William-Warnke 在 1975 提出的具有弯曲弯曲子午线的五参数的强度准则，在模型中弯曲的子午线有二次抛物线表达式来描述，偏平面中的非圆迹线有椭圆曲线对 060的每个部分给予近似。克服了以前他们提出的三参数准则的缺点，使其既能够描述低静水压力区混凝土的性能，又能够描述高静水压力区混凝土的性能。参考文献1江见鲸. 钢筋混凝土结构非线性有限元分析M. 陕西科学技术出版社 , 1994.2 江见鲸，陆新征，叶列平.混凝土结构有限元分析M. 清华大学出版社， 2005.3卓家寿. 工程材料的本构演绎M. 科学出版社, 2009.4 张正海, 董羽蕙. 裂缝模型及其在 ANSYS 中的模拟 J. 山西建筑, 2006, 31(24): 49-50.
