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1、第一章 复数及复变函数1. 复数一. 复数的基本概念1. 复数形如 的数称为复数 ；称 x 为复数的iyxz实部，记作 ；称 y 为复数的虚部，记作zRe；称 i 为虚数单位，其中 。zIm 12i2. 复数的相等与共轭复数（1） 设 ，222111, iyxziyxz 称 ，当且仅当 ；21z21y说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 则不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.（2） 设 ，称复数 为 z 的共轭复iyxziyx数，记作 ；z即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.; ,0 ,0 一一一 iyzyx . , xxzy一重要
2、公式： .izy,zx2.z二. 复数的四则运算及算律1. 复数的代数运算设 ，规定：222111, iyxziyxz ；212121 yix；1221212121 yxiyxz .022211221121 zyxiyxz2. 算律：交换律： ；1221zz;1221结合律： ；321321 zzz ;321321 分配律： .3231321 zzzz 3. 共轭复数的性质.03,2,1221212211zzzz(4) .2yxz三. 复平面称表示复数集合的平面为复平面, 复平面上的点或向量代表复数.2. 复数的三角表示一. 复数的模与辐角1. 模与辐角的概念设 ,称 为复数 z 的iyxz
3、22yxzz模，称复向量 与 x 轴正向的夹角为复数 z 的辐0角，记作 Argz, 称满足 的辐角为复数z 的主辐角, 记作 argz., 222111 iyxziyxz 一一 ).Re( 212121 zz一 显然，复数 z 的模即为复向量 的长度.z02. 模与辐角的性质设 ,有iyxz(1). ;00,0zz(2). （斜边大于直角边）.;zyzx(3). .;212121 zzzzz(4). ;2121 zz(5). .022121 zzz(6). argz=.,xyarctn,rt,xyarctn一一一问题 数轴上的复数的辐角怎样？说明,0一一一 z , 1一一 一 z 辐角不确定
4、.二. 复数的三角表示设 =r，Argz= ，z利用直角坐标与极坐标的关系复数 可以表示为 iyxz sincosrz称为复数 z 的三角表示.三.复数的指数表示设 =r，Argz= ，利用欧拉公式z复数 可以表示为iyx irez称为复数 z 的指数表示.例 1 求复数 z= 的三角表示.i31例 2 将复数 化为三角形式.0sincoz四. 复数的乘、除及乘方、开方运算设：，222111 sincos,sincos rzrz ).( 2Arg1一kz ,0 ,0, zz一一一 ,cosryx,sincosi 则： ; 21212121 sincos rz即：两复数相乘就是把模数相乘, 辐角
5、相加.（公式说明： 所得到的复向量就是把 所对21z 1z应的向量伸缩 倍，然后再旋转22r角；反之亦然。 ）22zarg; 0sincos 221212121 zrz 即：两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.;ninrznn scos.1,02sin2cos nknkrznn ;212121 ierz;02212121 zerzi;inne .1,02 nkrznikinn 从几何上看, , 一一一z . 1 一一一一 nnrn例 3 用复数的三角形式计算 .i31例 4 用复数的三角形式计算 .i例 5 解方程 .013z例 7 若 n 为自然
6、数，且 ,31nnn iiyx其中 ， 为实数，证明：nxny34111 nnnx3. 平面点集的一般概念一. 开集与闭集1. 邻域称满足不等式 的全体 z 的集合为0z点 的邻域 （实心邻域） ；称满足不等式0z的全体 z 的集合为点 的邻域（去0 0z. , :6 13322123221 31 zzzzzz 一一 一一一一一心邻域）,记作 .0zU2. 内点、外点、边界点（1） 设 G 为点集，z 为 G 的一个元素，若存在一个 z 的邻域，该邻域全部含于 G 内，则称 z 为 G 的内点；（2） 设 G 为点集，z 不属于 G，若存在一个 z 的邻域，该邻域全部在 G 外，则称 z 为
7、G 的外点；（3） 设 G 为点集，z 为 z 平面上的一个点，若对 z 的任意邻域，该邻域内都既有元素既含于 G 内，又有元素不含于 G 内，则称 z为 G 的边界点;点集 G 的所有边界点的集合称为 G 的边界.3. 开集与闭集若点集 G 中的所有点均为 G 的内点，则称G 为开集；开集的补集称为闭集.4. 有界集与无界集若存在 M0,使得有 ，则称MzG|G 为有界集，否则，称 G 为无界集.二. 区域若点集 D 满足条件：（1） D 为开集，（2） D 为连通的，则称 D 为区域.即：区域就是连通的开集.三. 平面曲线1. 光滑曲线若曲线 在区间btatiytxtzC:内处处有连续的导
8、数，且满足ba,022tytx则称该曲线为光滑曲线.光滑曲线具有连续转动的切线。2.简单曲线（若当曲线）若连续曲线 在btatiytxtzC:区间 内没有重点，则称该曲线为简单曲线ba,（若当曲线） ；若该曲线的起点与终点重合，则称该曲线为简单闭曲线（若当闭曲线）.3.若当定理任意一条简单闭曲线 C 必将 z 平面惟一地分为 C, I(C), E(C)为三个点集，它们具有如下性质：（1） 彼此没有交集；（2） I(C)为有界域，称为 C 的内部；（3） E(C)为无界域，称为 C 的外部；（4） 若简单折线 P 的一个端点属于 I(C)，另一个端点属于 E (C)，则 P 必与 C 有交点。4
9、. 无穷大与复球面一 无穷远点规定 ,称为无穷远点.且有运算:01aaa 0.aaa,0复平面加上无穷远点称为扩充复平面.设 M0,称满足不等式 的全体复数zM的集合为无穷远点的邻域.二. 复球面复球面上的点与扩充复平面上的点一一对应.5. 复变函数一.复变函数的概念定义: 设 G 为 z 平面上的点集，若有对应法则f，使得对于 G 内的任意一个 z，通过 f，都有w 平面上的一个点集内的一个或多个确定的点w 与之对应，则称该法则 f 为定义在 G 内的一个复变函数；记作 . zw显然，复变函数 的对应法则确定了f以 x，y 为自变量的两个二元实函数 反之，由以 x，y 为自变量的两个二元实函
10、数也可惟一地确定一个复变函数 .zfw例 8 将定义在全平面上的复变函数 12zw化为一对二元实函数。例 9 将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实函数 2222 yxv,yxu化为一个复变函数。二.复变函数的极限与连续性1.复变函数的极限定义:设复变函数 在点 的某一去心 zfw0z邻域内有定义，A 为复定值，若：，不等式,0 00|,0zz),(),( yxvu),(),( yvyu Azf恒成立，则称当 z 趋于 时， 以 A 为极限，0zf记作Azfz0lim说明：（1）（2）若复变函数 在点 有极限，则一定惟zf0z一。定理 1 设 , 00ivuAyxivyxuzf 则：
11、,limlim0,00000 vyxvAzf yxz该定理将确定复变函数 的极限问题转zfw化为确定一对二元实函数的极限问题. 因此，可使用二元函数极限的相关结论讨论复变函数的极限问题.例 10 试讨论 在点 z=0 的极限.zf根据定理 1 易证以下结论：),(),( yxvyu . 0一一一2.复变函数的连续性定义:设复变函数 在点 的某一实心 邻zfw0z域内有定义，若有： ，则称复变函00limfz数 在点 连续；若复变函数 在区zfw0z zfw域 D 内任意一点 z 均连续，则称复变函数在区域 D 内连续，或称 为区域 D 内zf 连续函数.例 11 证： 在除去原点和负实轴0za
12、rg全平面上连续，但在负实轴上间断.定理 2 复变函数 在点 连续，yxivyxuzf ,0z当且仅当二元实函数 及 均在yxv,点连续 .00,yxz).0()(lim (3) ;)(li (2) ;)()(li (1) ,)(lim ,)(lim 000 00 BAzgfzgf BAf zgzfzzz zz 一一3. 连续函数的性质（）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；（）连续函数的复合仍为连续函数.特殊的:(1) 有理整函数 (多项式)(2) 有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.4. 闭域上连续函数的性质（）闭域上的连续函数在该域上一定有界；（）闭域上的连续函数在该域上一定有最大模与最小模；（）闭域上的连续函数在该域上一定一致连续.（即： ,0 212100 z,z, 一一 ,)( 210 nzazaazPw ; 一一一,)(zQPw , )( )( 一一一 zQzP. )( , )( :120 0一一 一一一一一一z zfzzf均有 ）21zfzf
