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1、第十一章,第八节,一、多元函数的无条件极值,二、多元函数的最值,三、多元函数的条件极值、 拉格朗日乘数法,多元函数的极值与最优化问题,一、 多元函数的无条件极值,1. 极值定义,若函数,极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点,的某邻域,则称函数在点 取得极大值,内有定义且满足,称为极值点.,推广：n 元函数 f (P ),(极小值),定义11.10,(1),(2),(3),例2,例3,例1,2. 多元函数取得极值的条件,定理11.10 (必要条件),设函数,且在该点取得极值，则有,具有偏导数，,注. 1,2 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,驻点,可导函
2、数的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,定理11.11(充分条件),若函数,某邻域内,具有二阶连续偏导数, 且,记,则,A0 时是极小值.,2) 当,3) 当,时, 不能确定 , 需另行讨论.,时, 不是极值.,即有,例4,例5-1,求函数,解 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步,解方程组,的极值.,求A、B、C的值，并列表判别,12,0,6,极小，,72,-5,解,例5,故,二、多元函数的最值,函数 f 在有界闭区域D上连续,函数 f 在该区域D上一定取得最值,依据,假设: 目标函数可微且只有有限个驻点.,(这
3、实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程),D是有界闭区域，,求最值的一般方法：,例6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来,解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,做成一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,使断面面积最大.,为,问怎样折法才能,令,解得,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,解,如图,例7,实例 小王有2000元钱，他决定用来购买 两种 急需物品：CD和U盘， 设他购买 x 张CD，y 个U盘达 到最佳效果，效果函数为：,三、条件极值、拉格朗日乘数法,设每张CD 28 元，每个U盘 80 元，问他如何分配这 2000
4、元以达到最佳效果,一般地，所谓条件极值，就是求,在附加条件：,问题的实质：求,求条件极值的方法主要有两种：,的无条件极值.,2. 拉格朗日乘数法,1. 将条件极值转化为无条件极值,下的可能极值点.,1 构造函数,解出 x, y, ,2 解方程组,3 判断,，得极值可疑点：,拉格朗日函数,(1),拉格朗日乘数,步骤：,注 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两 个的情形：,1 构造拉格朗日函数,如：,目标函数,得极值可疑点：,3 判断.,2 解方程组,例8,解,设长方体位于第一卦限内的一个顶点的坐标为(x, y, z), 则长方体的长，宽，高分别为,2x,故长方体的体积,2y,h - z.,目标函数
5、,由实际问题存在最大值,及可疑的极值点唯一,有,这种解法具有一般性,例9,解,目标函数,约束条件,注意常用解题技巧,注意常用解题技巧,例10,着点 A(1,1,1) 到点 B(2,0,1)的方向导数具有最大值.,解,目标函数：,条件：,解方程组：,(1)(2)(3)(4),由(1) y (2) x, 得,由(3)，得,代入(4)，得,极值可疑点：,内容小结,1. 如何求函数的无条件极值,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2.如何求函数的条件极值,(1) 简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格
6、朗日乘数法求解,先作拉格朗日函数,例如求二元函数,下的极值,然后解方程组,第二步 作拉格朗日函数，求驻点并判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小(闭区域), 根据问题的实际意义确定最值(实际问题),第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值应用问题,在条件,求出驻点 .,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆周,上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,作拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点
7、动画开始或暂停,例5-2,解,1 求驻点, ：,当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0),当 a 0 时，,代入，,2 判断,(1) 当a 0 时，,备用题 例4-1 讨论函数,及,是否取得极值.,解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在 (0,0)点,并且在 (0,0) 都有,可能为,(2) 当a =0 时，在唯一驻点(0,0)处，,充分判别法失效！,x,y,o,+,当a =0 时，,-,解,例6,根据问题的性质知,设(x,y)为该三角形内,所求点一定在x=0,y=0,x+2y-16=0,三直线所围三
8、角形的内部.,则它到三直线的距离平方和为:,任一点,目标函数,x+2y-16=0,而驻点唯一,由问题性质知存在最小值,例6-1,解,其次考虑f(x,y)在D的边界上的取值情况.,比较上述各点的函数值可知,函数的最大值是,函数的最小值是,例6-2,解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,的有盖,长方体水箱,问：当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,解,由,例7-1,无条件极值：对自变量除了限制
9、在定义域内外，并无其他条件.,解,例8-1,例8-2,解 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,这三个角所对应的三角形的面积分别为,作拉格朗日函数,求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,则,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,为边的面积最大的,四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 .,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,例8-3 求平面上以,设四边形的 一对内角分别为,例8-4,要设计一个容量为,则问题为求,令,解方程组,解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,x , y , z 使在条件,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,解,则,2x 3y , 得,例8-5,x 3z , 得,代入，得 x = 6, 从而 y =4, z =2,依题意，最大值必存在,即,例9-1,解,例9-2,解,分析,得,
