第二节　分式线形函数及其映射性质

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1、v掌握分式线性函数的映射性质第二节 分式线性函数一、分式线性函数 的定义分式线性函数是指下列形状的函数：其中 是复常数，而且 。在 时，我们也称它为整线性函数。分式线性函数的反函数为它也是分式线性函数，其中 注：(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平面 。(2)当 时，规定它把 映射成 ；(3)当 时，规定它把 映射成 二、分式线性函数 的拓广保形映射的概念可以扩充到无穷远点及其邻域。把 及其一个邻域保形映射成 t=0及其一个邻域，那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域。如果注：分式线性函数把扩充 z平面保形映射成扩充 w平面。如果把 及其一个邻域保形映射成 t

2、=0及其一个邻域，那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域。三、分式线性函数 的分解一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（ 1）、 （ 为一个复数）；（ 2）、 （ 为一个实数）；（ 3）、 （ r为一个正数）；（ 4）、 。事实上，我们有：（ 2）、 确定一个旋转；（ 3）、 确定一个以原点为相似中心的相似映射；（ 4）、 是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得。 （ 1）、 确定一个平移；把 z及 w看作同一个复平面上的点，则有：四、映射的性质1、保圆性规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理 6.6在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射

3、成圆。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及 型的函数所确定的映射复合而得。但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射 也把圆映射为圆即可。在圆的方程 中（如果 a=0，这表示一条直线），代入则得圆的复数表示：其中 a,b,c,d是实常数， 是复常数。函数 把圆映射成为即 w平面的圆（如果 d=0， 它表示一条直线，即扩充 w平面上半径为无穷大的圆）。注解：(1)、设分式线性函数把扩充 z平面上的圆 C映射成扩充 w平面上的圆 C。 于是， C及 C把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， 及 ，其边界分别是 C及 C。(2)、映射后的区域的象究竟是 还是 ，必

4、须通过检验其中某一个点的象来决定。定理 6.7对于扩充 z平面上任意三个不同的点 以及扩充 w平面上任意三个不同的点 存在唯一的分式线性函数，把依次分别映射成2、保形性证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是那么，由得同理，有：因此，有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。显然这样的分式线性函数也是唯一的。和 分别称为 及 的交比。分别记为 ，注：推论 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩充 z平面上

5、任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点 ，那么定理 6.8扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆。证明：设 C是 z平面上的一个圆， C是 w平面上的一个圆，在 C和 C上分别取三个不同的点 ，由定理 6.7，存在一个分式线性函数，把映射成 ，从而把圆 C映射成圆 C。设已给圆3、保对称点性如果两个有限点 及 在过 的同一射线上，并且那么我们说它们是关于圆C的对称点。注解1、圆 C上的点是它本身关于圆 C的对称点；2、规定 及 是关于圆 C的对称点；3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点。引理 6.1不同两点 及 是关于圆 C的对称点的必要与充分条件是：通过

6、及 的任何圆与圆 C正交。证明：如果 C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆， 及 之中有一个是无穷远点，则结论显然。必要性 设 及 关于圆 C的对称，那么通过 及 的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆 C正交。而 及 都是有限的情形。现在考虑圆 C为作过 z1及 z2的任何圆 C（半径为有限）；过 z0作圆 C的切线，设其切点是 z，于是从而这说明 z C 。从而上述 C的切线恰好是圆 C的半径，因此C与 C直交。显然， z1及 z2在这切线的同一侧。又过 z1及z2作一直线 L，由于 L与 C直交，它通过圆心 z0。于是 z1及 z2在通过 z0的一条射线上。充分性 过 z1及

7、 z2作一个圆 C（半径为有限）， 与 C交于一点 z。 由于圆 C与 C正交，C在 z的切线通过圆 C的心 z0。则因此， z1及 z2是关于圆 C的对称点。定理 6.9(保圆的对称性） 如果分式线性函数把 z平面上圆 C映射成 w平面上的圆 C，那么它把关于圆 C的对称点 z1及 z2映射成关于圆 C的对称点 w1及 w2。证明：过 w1及 w2的任何圆是由过 z1及 z2的圆映射得来的。由引理 6.1，过 z1及 z2的任何圆与圆 C直交。从而由分式线性函数的保形性，过 w1及 w2的任何圆与圆 C直交。再利用引理 6.1， w1及 w2是关于圆 C的对称点。分式线性函数把 w1及 w2

8、映射成关于圆 w|=R的对称点 0及 ，把扩充 z平面上的曲线 映射为圆 w|=R。由定理 6.1、定理 6.9知，上式表示一个圆，z1及 z2是关于它对称点。例：考虑扩充 w平面上的一个圆 |w|=R。五、两个特殊的分式线性函数(1)、上半平面 Imz0保形映射成单位圆|w|0内某一点 z0映射成 w=0， 一方面把 Imz=0映射成 |w|=1。由于线性函数把关于实轴 Imz=0的对称点映射成为关于圆 |w|=1的对称点，所求函数不仅把 z0映射成 w=0，而且把 映射成 w=。因此这种函数的形状是：其中 是一个复常数。其次，如果 z是实数，那么于是 ，其中 是一个实常数。由于 z是实数时， |w|=1， 因此它把直线Imz=0映射成圆 |w|=1， 从而把上半平面Imz0映射成 |w|1。又因为当 z=z0时， |w|=01， 又因为当 z=z0时， |w|=01， 因此这个函数正是我们所要求的。 注解：1、圆盘 |w|1的直径是由通过 及 的圆在 |z|1内的弧映射成的；2、以 w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的；3、 w=0是由 映射成的。