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1、,第十节 函数的极值与最大、最小值,第二章 一元函数微分学,本节要点,本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶导函数的符号去讨论函数的极值情况.,一、函数的极值及其求法二、函数的最大值、最小值及其求法三、应用,定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定义，如果对任意的 有,或,一、函数的极值及其求法,注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最大（小）值，或称为相对最大（小）值。,在本章的第五节中，费马定理指出: 如果函数可导，并且点 是它的极值点，那么点 是它的驻点，即 ，但是函数的驻点未必是它的极值点.例如函数 但 不是函数的极值点.,如果函数 在 处不可导，则 也有可能是它的极值点，
2、例如 在 处不可导，但 是极小值点。,可见，函数的极值点是函数的驻点或不可导点，反之不然.,函数的驻点和不可导点称为可疑极值点。,定理1（判断法一，第一充分条件） 设函数 在点 处连续，在 处的某个去心邻域 内可导；,若在 的两侧， 的是异号的，则 是极值，即,(3)若 时， 的符号不变，则 不是的极值点.,情形 1,情形 2,情形 3,根据上面的定理，若函数 在定义域内连续，且至多除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤求出函数的极值:,求出导函数 进而求出 的全部驻点和不可导点；,根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻近是否变号，确定该点是否为极值点，如果是极值点，进一步确定确定是极大
3、值还是极小值.,在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值.,函数在 处取极小值，极小值为,例1 求函数 的极值.,解,所以函数在 处取极大值，极大值为,例2 求函数 的极值。,解 在上节中，我们知道函数 在 中连续，在 中可导，且,可见 是函数的极大值； 是函数的极小值.,例3 求函数 的极值.,解,函数在 处取极小值，极小值为,若 ，则 在点 处取极大值；,定理2（判断法二，第二充分条件） 设函数 在点 处二阶可导，且 .,若 ，则 在点 处取极小值.,仅证 (1),由极限保号性，在 的一个去心邻域 内，,即,由定理1知， 在 处取得极大值。,所以 是极小值点；,例 函数 ，,将驻点 ，代
4、入 计算，得,有驻点 ，不可导点 .,对于 只能用定理1判别,经判别知 是极大值点.,二、最大值与最小值问题,在上一目中我们讨论了函数的极值及求法，在这一目中我们讨论函数在区间内的最大值和最小值及相应的求法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，我们知道若函数在闭区间 上连续, 则函数一定可以取到最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法. 这里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法.,在应用问题中, 如果归结为求 在区间 上的最大值或最小值, 则通常称,为目标函数, 称 为约束集.,设函数 在区间 上连续, 至多除个别点外处处可导,（1）求 在 内得驻点及不可导点； （不需要讨论它们
5、是否为极值点）,（2）求出驻点、不可导点以及端点 处的函数值；,（3）将上述函数值比较后得出最大值和最小值。,求函数在区间 上的最大值和最小值.,情形 1,例4 求函数 在区间 上的最大值和最小值。,解 显然函数 在所给区间上连续，可导。又,所以 即函数在区间有唯一的驻点。且比较：,故 是最小值， 是最大值。,情形 2 设函数 在区间 (开或闭, 有限或无限)内可导且在 内只有一个驻点 . (1) 若对 内的任意 , 当 时, ,而当 时, , 则 为 在 内的最大值; (2) 若对 内的任意 , 当 时, ,而当 时, , 则 为 在 内的最小值.,唯一驻点情形的图示:,“单峰”: 成为 在
6、整个区间 上的最大值.,“单谷”: 成为 在整个区间 上的最小值.,例6 设 是两个正数，满足条件 （常数），求 的最大值，其中,可见 是函数 在区间 内唯一驻点。,所以函数在点 处取得最大值。最大值为,(“单峰”情形),NB 本题当 m=n=1 时, 即得大家熟知的结果:和为定数的两个正数, 当它们相等时其乘积最大.,*例7 设抛物线 上在点 处的法线交该抛物线的另一点 ，求线段 的最短距离 。,解 设 ，则 的斜率为 ，,因 点的切线斜率为 ，故 点的法线斜率 ，,且线段 的长度为,设目标函数,情形 3 在很多实际问题中, 由问题的性质可以判断函数 在其定义域 的内部确有最大值或最小值,
7、而 在 内只有唯一的驻点 , 那么可不用判定 是极大值点或极小值点, 就能断定 必是所求 的最大值或最小值.,例8 将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如图所示）然后将其折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的 取何值时，该盒子的容积最大？,解 盒子的高为,底面面积为,故相应的体积为,求导后并令其为零，即,当 时，该盒子的容积最大。,在 内得唯一驻点 ，,又, 由本问题的实际,意义可知, 盒子的最大容积是必然存在的, 且最大值点必位于开区间 的内部, 于是立即可得结论:,自学例题,例10 在一块边长为a的正方形纸板上截去四角相等的小方块， 然后折叠成一个无盖纸盒，问截去的小方块的边长为多少时，纸盒的容积最大？,自学例题,解 要使用料最省，即要圆桶的全面积最小圆桶的全面积为,
