数学建模集训讲义(7-7节)

§7 煤矸石堆积（1999 年全国大学生数学建模竞赛 C 题）煤矿采煤时，会产出无用废料煤矸石．在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石．通常矸石的堆积方法是： 架设一段与地面角度约为 的直线形上升轨道（角度过大，25运矸车无法装满） ，用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来．现给出下列数据： 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角） ； 5矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约 2 吨/米 3； 运矸车所需电费为 0.50 元/度（不变） ；运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约 30%，坡道每延长 10 米，效率在原有基础上约下降 2%；土地征用费现值为 8 万元/亩，预计地价年涨幅约 10%； 银行存、贷款利率均为 5%； 煤矿设计原煤产量为 300 万吨/年； 煤矿设计寿命为 20 年； 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为 7%～10%． 另外，为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用 10%． 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为 100 万元/年，这笔钱是否够用？试制订合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用． 模型假设1．矸石山是棱锥和圆锥的嵌入体，棱锥和圆锥的侧面与地面形成的夹角均为 （安息角） ，运矸车道 SA 与地面的夹角 ；5 252．矸石容重 ；3210/ckgm3．原煤年产量理解为去掉矸石的净煤产量；4．年度征地方案理解为最多于每年初征地一次；5．煤矿用于处理矸石的经费 100 万元/年理解为每年初一次拨出；6．银行利息为复利，煤矿使用银行资金存贷自由；7．征地费于当时付出，电费于当年内付出，不可拖欠；8．20 年只堆积一个矸石山（参看最后的附注） ．模型建立1．矸石山的底面积和征地费1.1 矸石山的底面积、体积与高度的关系在题图中 A—SBOD 是棱锥部分，A—BCD 是圆锥部分，ΔSOB 是直角三角形( 为直角)．记矸石山高 ， ，可OBShAOSB得,tantan25sin19OBhS ΔSOB 面积= ，11cos2sins22tan2tanhSBh扇形 O—BCD 的半径 ，而扇形角 ，所以，tBOD扇形 O—BCD 的面积= ．22tanthh矸石山的底面积为 ΔSOB、ΔSOD 与扇形 O—BCD 面积之和，得． cos2.35tatanShm（1）征地面积至少为． 2()1.587Shh（2）矸石山的体积为． 3()0.784VhShm（3）1.2 征地面积与采煤出矸率的关系设出矸率为 ，记 ．1kg 原煤，折合成含矸煤为p1qpkg，其中矸石量为 kg= kg．由于原煤产量为 300 万吨/年，1则年均出矸量为 ，按矸石容重 换成体71033210ckgm积为 ，于是 年后矸石山的体积为6.5mqt． 　　 63().5mVq（4）由（3） 、 （4）式可得矸石山高度与 的关系t． 13()24.htq（5）将（5）代入（2） ，并注意 1 亩= ，得 年后占地面积为203mt（亩） ()59.7Stqt（6）由（5） 、 （6）式得 20 年后矸石山高与占地面积分别为， （亩）13(20)7.hqm23(0)4.Sq．例如，当 时， ， （亩） ．0.1p(2)6hm(20)1S1.3 征地面积计划因为地价年涨幅 10%高于贷款利率 5%，所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费向银行贷款．例如，当 时，征地费为 （万元） ．0.1p81026Q2．堆积矸石的电费2.1 运矸车机械效率当运矸车坡道行程为 ，高度为 时， ，从而运矸车lxsinl机械效率为 100.32lx．　　　　sin.478.983xe（7）2.2 运矸车机械功现在我们求堆积到高度 时运矸车所作的机械功．设想把区间h分成若干个小区间，取其中任一小区间并记作 ，在此0,h ,xd小区间上体积增量为 ，此时需把重量为 的物体从地面()Vx()Vc拉到 处，做功微元为 ，从而堆积到高度 的机械功为x()ch0()hJdx（8）以（3） 、 （7）和 代入得29.8gms 30.47851.51hxJed焦 耳（9）（9）式右端的积分可以用下式算出：332 40 66hbx bhedhbe  （10）2.3 电费按照 1 度（电）= 焦耳和 0.50 元/度，可以由（9） 、63.10（10） 、 （5）算出从开始到 年的电费．当 时， 到t0.1pt年的电费为20tt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10k(t) 8.50 14.25 18.00 21.09 23.82 26.32 28.64 30.83 32.92 34.93t 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20k(t) 36.86 38.73 40.55 42.33 44.07 45.77 47.44 49.08 50.69 52.28为了与所给经费比较，将它们都按利率 5%折合成现值．20 年总电费 K 和总经费 S 分别为（万元） ， （万元） 20()41.5tt20169.5tt（11）总电费 K 与征地费 Q 之和为 1220（万元） ，未超过总经费 S．对于不同的出矸率，费用的计算结果如下：出矸率 p总电费（万元） 征地费（万元） 总费用（万元）0.07 218.6 628.2 846.80.08 271.9 691.7 963.60.09 330.8 753.7 1084.50.10 395.3 814.5 1209.80.11 465.7 874.4 1340.13．结论开始时按 10%的出矸率为 20 年堆积矸石征地 102 亩，不足经费向银行贷款，以后每年用当年经费缴电费并还贷，20 年经费刚好够用．若出矸率高于 10%，如 11%时，上述结果表明，经费已不足．附注：上面的计算是基于 20 年只堆积一个矸石山的假设，若堆积多个矸石山，显然征地费将增加，而电费将减少，那么总费用如何呢．若堆积两个矸石山，每个 10 年，不难算出，征地费为513×2=1026（万元） ，电费为 185×2=370（万元） ，总费用1396（万元） ，大于上面的 1220（万元） ．所以堆积一个矸石山是正确的．。