12第十二讲 逻辑推理(2)

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1、指南针小升初-81-第 十 二 讲 逻 辑推 理（ 2）知识导航逻辑 是逻辑学 的简称 ， 是 一门 研究人们 思维活 动一般规 律的学 科 .而这 些规律是学习 数学必不 可少的 ，因此逻 辑道理 成为了数 学竞赛 的一个重 要内容 .解答 推理问题常用的方 法有排除法、假 设法、反证法 .一般可以 从以下几个方面 考虑 .1.选准突破 点，分析时综合 几个条件进行判 断 .2.根据题中 条件，在推理过 程中，不断排除 不可能的情况， 从而得出要求的 结论 .3.对可 能出现的 情况作 出假设， 然后再 根据条件 推理， 如果得到 的结论 和条件 不 矛盾，说明 假设是正确的 .4.遇到比较

2、 复杂的推理问题 ，可以借助图表 进行分析 .例 1 甲 、 乙 、 丙三 个 孩 子 打 碎 了玻 璃 .甲 说 ： “ 丙 打 碎 的 .” 乙 说 ： “ 我 没 有 打 碎玻璃 ” .丙说： “ 是乙打碎 的 ” .他们当中 只有一人说了谎 话，到底是谁打 碎的？解 析 ： 根 据题 意 ， 必须 符 合只 有 一 个人 说 了谎 ， 推 理可 以 用假 设 。 推 理时 可 以 先假设，看结 论和条件是否矛 盾 .如 果是 甲 打 碎的 ， 那么 甲 说 谎话 ， 乙说 的 是 实话 ， 丙说 谎 话 ，这 样 与他 们 中 只有 一人说谎矛 盾，所以不是甲 打碎的 .如果 是乙打碎

3、 的，那 么甲说的 是谎话 ，乙说的 是谎话 ，丙说的 是实话 .与他 们中只有一人说谎 相矛盾 .所以不是 乙打碎的 .如 果是 丙 打 碎的 ， 那么 甲 说 的就 是 实话 ， 乙 说的 是 实话 ， 而 丙说 的 是谎 话 ， 这样 只有一个人 说谎，符合题中 条件 .答：玻璃 是丙打碎的 .【 巩 固 】 有 三 个 同 学 在 谈 论 谁 的 年 龄 大 .小 东 说 ： “ 小 兰 的 年 龄 比 小 静 大 .” 小 静说： “ 小兰的年 龄比小东小 .” 这三位同 学中，谁的年龄 最大？谁的年龄 最小？解析： 我们用 “ ” 来表示每 个同学之间的年 龄的关系 .小兰小 静小

4、东小静小 东小兰所以小东 小兰小静， 小东的年龄最大 ，小静的年龄最 小 .答：小东 年龄最大，小静 年龄最小 .例 2 甲 、 乙 、 丙、 丁 四 人 进 行 乒乓 球 比 赛 .赛 后 名 次 说法 不 一 .有 的 说 ： “ 甲 第 二名 ， 丁 第 三 名 .” 有 的 说 ： “ 甲 第 一 名 ， 丁 第 二 名 .” 有 的 说 ： “ 丙 第 二 名 ,丁 第 四名 ” ，实际上 ，上面三种说法 各说对了一半 .问甲、乙 、丙、丁各是第 几名？解析： 推理时， 必须以 “ 他们都只 说对了一半 ” 为前提 .我们可以 借助图表分析 .指南针小升初-82-(1)假 如 第 一

5、 个 人 说 甲 是 第 二 名是 对 的 ， 那 么 丁 是 第 三 名 是 错的 .第二 个人 说甲 第一名 错， 丁第二 名对 .而根 据第 三人 说，丁第四 名错 ，丙 第二名 对 .这样 出现甲、乙 、丁可都是第二 名，自然推理错 误 .重新推理 :（ 2） 如 果 第 一 人 说 甲 是 第 二 名是 错 的 ， 丁 是 第 三 名 就 对 .第 二人 说 丁 是 第 二 名 错 ， 那 么 甲 第 一名 就 对 .第 三 人 说 丁 是 第 四 名错 ， 丙 是 第 二 名 就 对 .从 表 中 可以看出甲 是第一名，丙是 第二名，丁是第 三名，则乙是第 四名 .答：甲是 第一名

6、，乙是第 四名，丙是第二 名，丁是第三名 .【巩固】 小王、小 张和小李一位是 工人，一位是农 民，一位是教师 ，现在只知道：小李比教 师年龄大；小王 与农民不同岁； 农民比小张年龄 小 .问：谁是 工人？谁是农民？谁是 教师？ 解析： 由题目条 件可以知道：小 李不是教师，小 王不是农民，小 张不是农民 .由此得到左下表 .表格中打 “” 表示肯定 ，打 “” 表示否定 .因为左上 表中，任一行、 任一列只能有一 个 “” ，其余是 “” ，所以小 李是农民，于 是得到右上表 .因为农民 小李比小张年龄 小，又小李比教 师年龄大，所以 小张比教师年龄 大，即小张不是 教师 .因此得到 左下表

7、，从而得 到右下表，即小 张是工人，小李 是农民，小王是教师 .【总结 】 例 1中采用列 表法，使得各种 关系更明确 .为了讲解 清楚，例题中画 了几个表，实际 解题时，不用画 这么多表，只在 一个表中先后画 出各种关系即可 .需要注意的是： 第一步应 将题目条件给出 的关系画在表上 ，然后再依次将 分析推理出的关系画在表 上； 每行每列 只能有一个 “” ，如果出 现了一个 “” ，它所在 的行和列的其 余格中都应画 “” .名次 第一名 第二名 第三名 第四名甲 乙 丙 丁 名次 第一名 第二名 第三名 第四名甲 乙 丙 丁 指南针小升初-83-例 3 刘刚、马 辉、李强三个男 孩各有一

8、个妹妹 ，六个人进行乒 乓球混合双打比 赛 .事先规定 ：兄妹二人不许 搭伴 .第一盘： 刘刚和小丽对李 强和小英； 第二盘： 李强和小红对刘 刚和马辉的妹妹 .问：三个 男孩的妹妹分别 是谁？解析： 因为兄妹 二人不许搭伴， 所以题目条件表 明：刘刚与小丽 、李强与小英、 李强与小红 都不是兄妹 .由第二盘 看出，小红不是 马辉的妹妹 .将这些关 系画在左下表中，由左 下表可得右下表 .刘刚与小 红、马辉与小英 、李强与小丽分 别是兄妹 .【巩固】 四个小朋 友宝宝、星星、 强强和乐乐在院 子里踢足球，一 阵响声，惊动了正在读书 的陆老师，陆老 师跑出来查看， 发现一块窗户玻 璃被打破了 .

9、陆老师问 ：“ 是谁打破 了玻璃？ ”宝宝说： “ 是星星无 意打破的 .”星星说： “ 是乐乐打 破的 .”乐乐说： “ 星星说谎 .”强强说： “ 反正不是 我打破的 .”如果只有 一个孩子说了实 话，那么这个孩 子是谁？是谁打 破了玻璃？解析： 因为星星 和乐乐说的正好 相反，所以必是 一对一错，我们 可以逐一假设检 验 .假设星星 说得对，即玻璃 窗是乐乐打破的 ，那么强强也说 对了，这与 “ 只有一个 孩子说了实 话 ” 矛盾，所 以星星说错了 .假设乐乐 说对了，按题意 其他孩子就都说 错了 .由强强说 错了，推知玻璃 是强强打破的 .宝宝、星 星确实都说错了 .符合题意 .所以是

10、强 强打破了玻璃 .由题看出 ，用假设法解逻 辑问题，就是根 据题目的几种可 能情况，逐一假 设 .如果推出矛盾 ，那么假设不成 立；如果推不出 矛盾，那么符合 题意，假设成立 .指南针小升初-84-课后作业 1 张明、席 辉和李刚在北京 、上海和天津工 作，他们的职业 是工人、农民和 教师，已知：（ 1）张明不 在北京工作，席 辉不在上海工作 ；（ 2）在北京 工作的不是教师 ；（ 3）在上海 工作的是工人；（ 4）席辉不 是农民 .问：这三 人各住哪里？各 是什么职业？解析： 与前面的 例题相比，这道 题的关系要复杂 一些，要求我们 通过推理，弄清 人物、工作 地点、职业三者 之间的关系

11、.三者的关 系需要两两构造 三个表，即人物 与地点，人物 与职业，地点与 职业三个表 .我们先将 题目条件中所给 出的关系用下面 的表来表示，由 条件（ 1）得到表 1，由条件（ 4）得到表 2，由条件 （ 2）（ 3）得到表 3.因为各表 中，每行每列只 能有一个 “” ，所以表 （ 3）可填全 为表（ 4） .因为席辉 不在上海工作， 在上海工作的是 工人，所以席辉 不是工人，他又 不是农民，所以 席辉是教师 .再由表 4知，教师 住在天津，即席 辉住在天津 .至此，表 1可填全为 表 5.对照表 5和表 4，得到： 张明住在上海是 工人，席辉住在 天津是教师，李 刚住在北京是农 民 .2

12、 甲乙丙丁 四人同时参加全 国小学数学夏令 营 .赛前甲、 乙、丙分别做了 预测 .甲说： “ 丙第 1名，我第 3名 .”乙说： “ 我第 1名，丁第 4名 .”丙说： “ 丁第 2名，我第 3名 .”成绩揭晓 后，发现他们每 人只说对了一半 ，你能说出他们 的名次吗？解析： 我们以 “ 他们每人 只说对了一半 ” 作为前提 ，进行逻辑推理 .指南针小升初-85-假设甲说 的第一句话 “ 丙第 1名 ” 是对的， 第二句话 “ 我第 3名 ” 是错的 .由此推知乙说 的 “ 我第 1名 ” 是错的， “ 丁第 4名 ” 是对的； 丙说的 “ 丁第 2名 ” 是错的， “ 丙第 3名 ” 是对

13、的 .这与假设 “ 丙第 1名是对的 ” 矛盾，所 以假设不成立 .再假设甲 的第二句 “ 我第 3名 ” 是对的， 那么丙说的第二 句 “ 我第 3名 ” 是错的，从而 丙说的第一句话 “ 丁第 2名 ” 是对的； 由此推出乙说的 “ 丁第 4名 ” 是错的， “ 我第 1名 ” 是对的 .至此可以 排出名次顺序： 乙第 1名、丁第 2名、甲第 3名、丙第 4名 .3 甲、乙、 丙、丁在谈论他 们及他们的同学 何伟的居住地 .甲说： “ 我和乙都 住在北京，丙住 在天津 .”乙说： “ 我和丁都 住在上海，丙住 在天津 .”丙说： “ 我和甲都 不住在北京，何 伟住在南京 .”丁说： “ 甲

14、和乙都 住在北京，我住 在广州 .”假定他们 每个人都说了两 句真话，一句假 话 .问：不在 场的何伟住在哪 儿？解析： 因为甲、 乙都说 “ 丙住在天 津， ” 我们可以 假设这句话是假 话，那么甲、乙的前两句 应当都是真话， 推出乙既住在北 京又住在上海， 矛盾 .所以假设 不成立，即“ 丙住在天 津 ” 是真话 .因为甲的 前两句话中有一 句假话，而甲、 丁两人的前两句 话相同，所以丁 的第三句话 “ 我住在广 州 ” 是真的 .由此知乙 的第二句话 “ 丁住在上 海 ” 是假话， 第一句“ 我住在上 海 ” 是真话； 进而推知甲的第 二句是假话，第 一句 “ 我住在北 京 ” 是真话；

15、最后 推知丙的第二句 话是假话，第三 句 “ 何伟住在 南京 ” 是真话 .所以，何 伟住在南京 .在解答逻 辑问题时，有时 需要将列表法与 假设法结合起来 .一般是在 使用列表法中，出现 不可确定的几种 选择时，结合假 设法，分别假设 检验，以确定正 确的结果 .4 一天，老 师让小马虎把甲 、乙、丙、丁、 戊的作业本带回 去，小马虎见到 这五人后就一人 给了一本，结果 全发错了 .现在知道 ：（ 1）甲拿的 不是乙的，也不 是丁的；（ 2）乙拿的 不是丙的，也不 是丁的；（ 3）丙拿的 不是乙的，也不 是戊的；（ 4）丁拿的 不是丙的，也不 是戊的；（ 5）戊拿的 不是丁的，也不 是甲的

16、.另外，没 有两人相互拿错 （例如甲拿乙的 ，乙拿甲的 ） .问：丙拿 的是谁的本？丙 的本被谁拿走了 ？解析： 根据 “ 全发错了 ” 及条件（ 1）（ 5），可以 得到表 1：指南针小升初-86-表 1甲的本 乙的本 丙的本 丁的本 戊的本甲 乙 丙 丁 戊 由表 1看出，丁 的本被丙拿了 .此时，再 继续推理分析不 大好下手，我们 可用假设法 .由表 1知，甲拿 的本不是丙的就 是戊的 .先假设甲 拿了丙的本 .于是得到 表 2，表 2中乙拿戊 的本，戊拿乙的 本 .两人相互拿错，不 合题意 .再假设甲 拿戊的本 .于是可得 表 3，经检验 ，表 3符合题意 .所以丙拿 了丁的本，丙的 本被戊拿去了 .5 甲、乙、 丙、丁每人只会 中、英、法、日 四种语言中的两 种，其中有一种 语言只有一人会 说 .他们在一 起交谈可有趣啦 ：（ 1）乙不会 说英语，当甲与 丙交谈时，却请 他当翻译；（ 2