数学建模回归分析

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1、数学建模,回归分析,一元线性回归,多元线性回归,回归分析,数学模型及定义,*模型参数估计,*检验,可线性化的一元非线性回归（曲线回归）,数学模型及定义,*模型参数估计,逐步回归分析,* 多元线性回归中的 检验与预测,统计工具箱中的回归分析命令,一、数学模型,例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：,以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xi，yi）在平面直角坐标系上标出.,散点图,解答,一元线性回归分析的主要任务是：,返回,一般地，称由(1)确定的模型为一元线性回归模型，记为,1.线性最小二乘法,二、模型参数估计,1回归系数的最小二乘估计,返回,检 验,1回归方程的显著性检验

2、,F 检验,检 验,r 检验,检 验,回归系数的置信区间,检 验,四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）,例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：,解答,此即非线性回归或曲线回归,问题（需要配曲线）,配曲线的一般方法是：,问题（需要配曲线）,曲线回归,通常选择的六类曲线如下：,返回,一、数学模型及定义,返回,二、模型参数估计,返回,三、多元线性回归中的检验,（）F 检验法,（）r 检验法,(残差平方和),四、逐步回归分析,（4）“有进有出”的逐步回归分析.,（1）从所有可能的

3、因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；,（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；,（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；,选择“最优”的回归方程有以下几种方法：,“最优”的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量, 而不包含对Y影响不显著的变量回归方程.,以第四种方法，即逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.,这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止.,逐步回归分析法的思想：,从一个自变量开始，视自变量Y对作用的显著程度，从大到小地依次逐个引入回归方程.,当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉.,引入一个自变量

4、或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步.,对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量.,返回,四、逐步回归分析,统计工具箱中的回归分析命令,1多元线性回归,2多项式回归,3非线性回归,4逐步回归,返回,多元线性回归,b=regress( Y, X ),1确定回归系数的点估计值：,3画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）,2求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型,例1,解：,1输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;

5、X=ones(16,1) x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;,2回归分析及检验： b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,stats,To MATLAB(liti11),题目,3残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint),从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点.,4预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k

6、+,x,z,r),返回,To MATLAB(liti12),多 项 式 回 归,（一）一元多项式回归,y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1,法一,直接作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2),To MATLAB（liti21）,得回归模型为 ：,法二,化为多元线性回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33

7、.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t (t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,stats,To MATLAB(liti22),得回归模型为 ：,Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r),预测及作图,To MATLAB(liti23),Y = Columns 1 through 12 11.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 7

8、2.9363 85.4622 99.0754 113.7759 Columns 13 through 14 129.5637 146.4389,（二）多元二项式回归,命令：rstool（x，y，model, alpha）,例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.,法一,直接用多元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=

9、x1 x2; rstool(x,y,purequadratic),在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则betarmse和residuals都传送到MATLAB工作区中.,将左边图形下方方框中的“800”改成1000，右边图形下方的方框中仍输入6.则画面左边的“Predicted Y”下方的数据由原来的“86.3791”变为88.4791，即预测出平均收入为1000价格为6时的商品需求量为88.4791.,在MATLAB工作区中输入命令： beta, rmse,To MATLAB(liti31),结果为: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.84

10、75 stats = 0.9702 40.6656 0.0005,法二,To MATLAB(liti32),返回,非线性回 归,（1）确定回归系数的命令： beta，r，J=nlinfit（x,y,model,beta0）,（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）,1回归：,例 4 对第一节例2，求解如下：,2输入数据： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; beta0=8 2;,3求回归系数： beta,r

11、,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta,得结果：beta = 11.6036 -1.0641,即得回归模型为：,To MATLAB(liti41),题目,4预测及作图： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x,y,k+,x,YY,r),To MATLAB(liti42),例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关.表中列出了19521981年的原始数据，试构造预测模型.,解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为x1、

12、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为y，设变量之间的关系为：y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非线性回归方法求解.,1 对回归模型建立M文件model.m如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;,2. 主程序l

13、iti6.m如下:,X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 . 2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 . 564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.

14、00 . 890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0),To MATLAB(liti6）,betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6,结果为:,返 回,逐 步 回 归,逐步回归的命令是： stepwise（x，y，inmodel，alpha）,运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.,在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.,Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.,