《人教版高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1.1 两角差的余弦公式教学分析本节首先引导学生对 cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力 ,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出 -角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;探索过程不应追求一步到位,应先
2、不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的由来;使学生认识公式的结构特征,加以记忆; 使学生掌握公式的推导和证明;通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单
3、的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式 .教学难点:探索过程的组织和适当引导 .课时安排1 课时教学过程导入新课思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45= ,cos30= ,由此我们能否得到23
4、cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于 cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-) 等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨 “两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题请学生猜想 cos(-)=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 、 的三角函数来表示 cos(-)呢？利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(-)=?2细心观察 C(-)公式的结构,它有哪些特征？其中 、 角的取值范围如何？如何正用、逆用、灵活运用 C(-)公式进行求值计算？活动:问题 ,
5、出示问题后 ,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到 cos(-)=cos-cos的结论,此时教师适当的点拨 ,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如 =60,=30,则 cos(-)=cos30= ,而 cos-cos=cos60-cos30= ,这23231一反例足以说明 cos(-)cos-cos.006,3,如让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题 ,既然 cos(-)cos-cos,那么 cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是 -这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来
6、探究呢？图 1如图 1,设角 的终边与单位圆的交点为 P1,POP1=,则POx=-.过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是角 -的余弦线,即 OM=cos(-),这里就是要用角 、 的正弦线、余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cos,AP表示 sin,并且 PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin.教师引导
7、学生进一步思考,以上的推理过程中,角 、 、- 是有条件限制的,即、 、- 均为锐角,且 ,如果要说明此结果是否对任意角 、 都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图 2问题 ,教师引导学生 ,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 、,它们的终边与单位圆 O 的交点分别为A、B,则 =(cos,sin), =(cos,sin),AOB=-.OB由向量数量积的定义有 =| | |cos(-)=cos(-),AOB由向量数量积的坐标表示有3 =(cos,sin)(cos,si
8、n)=coscos+sinsin,OAB于是,cos(-)=coscos+sinsin.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角 -必须符合条件 0-,以上结论才正确 ,由于 、 都是任意角,- 也是任意角,因此就是研究当 -是任意角时,以上公式是否正确的问题.当 -是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角 0,2), 使 cos=cos(-),若 0,则 =cos=cos(-).若 ,2,OAB则 2-0,且 =cos(2-)=cos=cos(-).OAB由此可知,对于任意角 、 都有cos(-)=coscos+sinsin(C(-)此公式给出了任意角 、
9、 的正弦、余弦值与其差角 -的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为 C(-).有了公式 C(-)以后,我们只要知道 cos、cos、sin、sin 的值,就可以求得 cos(-)的值了.问题 ,教师引导学生细心观察公式 C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“ 这两角的余弦积与正弦积的和”, 可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空 ,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了 sin、cos、sin、cos 的值就可以求得 cos(-)的值了.问题 ,对于公式的正用是比较容易的,关
10、键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如 cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30= ,23cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.讨论结果: 略.应用示例思路 1例 1 利用差角余弦公式求 cos15的值.活动:先让学生自己探究 ,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15,它可以拆分为哪些特殊角的差,如 15=45-30或者 15=60-45,从而就可以直接套用公式 C(-)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操
11、作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30= .426123方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45sin60sin45= 1.点评:本题是指定方法求 cos15的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运4用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体
12、会.变式训练1.不查表求 sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30= .426132sin15= = =5cos22)(.42618点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度 ,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式 C(-)的右边的特征,逆用公式便可得到 cos(110-20).这就是公
13、式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例 2 已知 sin= ,( ,),cos= ,是第三象限角,求 cos(-)的值.542135活动:教师引导学生观察题目的结构特征 ,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求 cos(-)的值,必先知道 sin、cos 、sin 、cos 的值,然后利用公式 C(-)即可求解.从已知条件看,还少 cos与 sin的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角 、 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号 .本例可由学生自己独立完成.解:由 sin= ,( ,),得542cos= .53)4(1sin12a又由 c
14、os= ,是第三象限角,得3sin= .132)(1cos12所以 cos(-)=coscos+sinsin= .65)3(54)(3点评:本题是直接运用公式 C(-)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知 sin= ,(0,),cos= ,是第三象限角,求 cos(-)的值.541355解:当 ,)时,且 sin= ,得 cos= ,254 53)4(1sin122a又由 cos= ,是第三象限角,得135sin= = .22)13(c
15、os所以 cos(-)=coscos+sinsin= .65)(54)13(当 (0, )时,且 sin= ,得2cos= ,53)4(sin2a又由 cos= ,是第三象限角,得135sin= .132)(cos2所以 cos(-)=coscos+sinsin= .65)13(54)(3点评:本题与例 2 的显著的不同点就是角 的范围不同.由于 (0,),这样 cos的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角 进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变
