声音在管道中的传播

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1、管道中的声传播 5.1 均匀的有限长管道 设有一平面声波在一根有限长的、截面积均匀的管子中传播，管的截面积为 S 。如果管子末端有一任意声学负载，它的表面法向声阻抗为 Z a ( 或法向声阻抗率为 ) ，一船应是复数，由声阻 R a 与声抗 X a ( 或声阻率 R s 与声抗率 X s ) 组成，即 ( 或 ) 。由于管端有声负载，一部分声波要受到反射，一部分声波要被负载所吸收。因此，管中的原始平面行波声场就要受到负载的影响。 5.1.1 有限长管道声场 5.1.2 声负载吸声系数 5.1.3 共振吸声结构 5.1.1 有限长管道声场 为了处理方便，我们把坐标原点取在管末端的负载处，如图 (

2、 5-1-1 ) 所示。设入射波与反射波的形式分别为 ( 5-1-1 ) ( 5-1-2 ) 图 ( 5-1-1 ) 反射波 的产生是由管端的声学负载引起的，它同入射波 之间不仅大小不同，而且还可能存在相位差，一般可表示为 ( 5-1-3 ) 这里 称为声压的反射系数 , 表示它的绝对值， 表示反射波与入射波在界面处的相位差。把 ( 5-1-1 ) 和 (5-1-2) 两式相加就得到管中的总声压 ( 5-1-4 ) 其中 ( 5-1-5 ) 为总声压振幅， 为引入的一个固定相位，它对声场的能量大小没有影响，这里就不予讨论。分析 ( 5-1-5 ) 式可以发现，当 时，总声压有极小值，当 ？时，

3、总声压有极大值。我们用 G 来表示声压极大值与极小值的比值，称为驻波比，可得 ( 5-1-6 ) 或写成如下形式 ( 5-1-7 ) 假设末端的声负载是全吸声体，把入射声波全部吸掉，则有 ，或 。这时管中只存在入射的平面波，驻波比 。如果声负载是一刚性反射面，把入射声波全部反射，则 ，于是有 ，这时管中出现了纯粹的驻波 ( 我们曾经称它为定波 ) ，即驻波比 。对于一般负载驻波比 G 介于 之间。 ( 5-1-7 ) 式把 G 与反射系数？联系起来，这就启示我们，可以通过对驻波比的测量来确定声负载的声压反射系数。从此又可求得负载的声能透射系数或称吸声系数，参见 （ 5 -1- 13 ） 式。公

4、式 (5-1-7) 就是声学中常采用的驻波管测量吸声材料反射系数与吸声系数方法的理论依据。从 (5-1-5) 式我们还可以确定管中声压极小值的位置，由 可得 5 ( 5-1-8 ) 这里 x 前面引入一负号，是因为我们坐标原点取在管的末端，所以管中的任意位置 x 都是负值，而 就是取正值的意思。从 ( 5-1-8 ) 式看到， 对应于一个最靠近声负载处的极小值，我们称为第一个极小值，它等于 ( 5-1-9 ) 由此我们可以通过第一个极小值位置的测量，来求得管端反射波与入射波的相位差 。 5.2 非均匀管道 5.2.1 突变截面管道声传播 5.2.2 旁支管道声传播 5.2.1 突变截面管道声传

5、播 声波在两根不同截面的管中传播： 假设声波从一根截面积为 S 1 的管中传来，在该管的末端装着另一根截面积为 S 2 的管子，如图 5-2-l 所示。一般说，后面的 S 2 管对前面的 S l 管是一个声负载。因而也会引起部分声波的反射和透射。设在 S 1 管中有一入射波 p i 和一反射波 p r ，而 S 2 管无限延伸，仅有透射 p t ，假定坐标原点取在 S l 管与 S 2 管的接口处，我们可以分别写出上述三种波的声压表示式 （ 5 -2- 1 ） 以及它们的质点速度 （ 5 -2- 2 ） 图 5-2-l 我们知道这三种波不是各自独立，而是相互有联系的。这种联系的关键在两根管子的

6、接口处，也即两根管子的界面处。观察这种界面存在的声学边界条件，可以指出，对于上述情形在 x 0 处应存在如下两种边界条件： （ 1 ）声压连续。即 （ 5 -2- 3 ） （ 2 ）体积速度连续。在界面处因为截面有突变，所以可以想像这里的质点不会再是单向的。这就是说，在界面附近声场是非均匀的。因而这里如果提出法向速度连续的条件是不确切的。然面我们知道在界面处质点不会积聚，根据质量守恒定律，体积速度总应连续。我们假设这一声场不均匀区甚小于声波波长，因而可以把这一区域看成一点，面在此区域以外声波仍恢复平面波传播，所以我们可以近似地获得体积速度连续的条件为 （ 5 -2- 4 ） 将 （ 5 -2-

7、 2 ） 式代人并取 x 0 可得 （ 5 -2- 5 ） 联列 （ 5 -2- 3 ） 与 （ 5 -2- 5 ） 两式，可解得声压比 （ 5 -2- 6 ） 其中 。由此可见，声波的反射与二根管子的截面积比值有关。当 ，即第二根管子比第一根细时， ，这就相当于 4.10.2 中讨论的声波遇到“硬”边界情形；当 ，它相当于声波遇到“软”边界。如果 ， 这好像声波遇到“真空”边界。 从 （ 5 -2- 6 ） 式可以得到声强的反射系数与透射系数 （ 5 -2- 7 ） （ 5 -2- 8 ） 为了能反映突变截面管中的声传播的能量关系，还可写出平均声能流或功率的透射系数，还可写出平均声能流或功率

8、的透射系数 （ 5 -2- 9 ） 而声功率反射系数与声强反射系数相同 。此，可以得到 ，这就是能量守恒的关系。 中间插管的传声特性 现在我们再来研究，在传声主管中插入一根面积扩张管 ( 或收缩管 ) 的传声情形。设主管的截面积为 S 1 ，中间插管的截而积为 S 2 ，长度为 D ，见图 5 2 2 所示。按照上面分析可知，两根管子截面积不同的传声特性与两种不同媒质的传 图 5 2 2 声情形相类似。如果我们令 ，则 （ 5 -2- 9 ） 式就与 （ 3-5-12 ） 式完全相同。因此如果我们把现在中间插管类比于中间插入层，那么只要把公式 （ 3-5-40 ） 中的 R ij 换成 ， j

9、 1 ， 2) ，就可绕过繁琐的重复的计算过程，而得到中间插管情形的声强透射系数公式 （ 5 -2- 10 ） 从此式看到，声波经过中间插管的透射，不仅同主管与插管的截面积比值有关，而且还与插管的长度有关。当 ，即？ 时，透射系数最小并等于 。这就是说当中间插管的长度等于声波波长 l 4 的奇数倍时，声波的透射本领最差，或者说反射本领最强，这就构成了对某些频率的滤波作用。 扩张管式消声器 目前在通风系统和某些动力设备进排气管道中普遍采用的减弱强声波传播的措施，就是设计消声器，而这里讨论的中间插管的滤波原理就是这种消声器的重要理论依据之一。至于中间插入的是扩张还是收缩管，在理论上并无区别，然面在

10、实用上为了减少对气流的阻力，常用的是扩张管，因此，这样的消声器也常称为扩张管式消声器。我们已知，这种滤波原理只是使声波反射回去，而并不消耗声能，因而由这种原理设计的消声器也称为抗性消声器。消声器的消声程度一般用消声且来描述，它的定义为管中声强透射系数的倒数用分贝来表示，即 。将 （ 5 -2- 10 ） 式代入便可得扩张管式消声器的消声量公式 （ 5 -2- 11 ） 当 或 时，消声量达到极大值 （ 5 -2- 12 ） 再来看看 或 的情形，这时据 （ 5 -2- 11 ） 式可知消声量等于零。这就是说，当插管的长度等于声波波长的 1 2 整数倍时，声波将可以全部通过，与这一波长对应的频率

11、称为消声器的通过频率。由此可见，扩张管式消声器具有较强的频率选择性，所以它特别适宜用于消除声波中一些声压级特别高的频率成分。为了展宽消声的频率范围，可采取插人多节扩张管的方法，各节扩张管的长度可互不相同，例如可使一节扩张管具有最大消声量的频率正好是另一节扩张管的通过频率，以此来互相补偿。 最后要指出一点，上述的消声原理存在一低频极限。如果消声器中的扩张管以及它的前后连接管的长度都比声波波长小很多，那么这些管子己不再是分布参数系统而成为集中参数系统的声学元件了。这时的滤波原理就不再遵循 （ 5 -2- 11 ） 式的规律，而应服从声滤波器的规律。 5.3 声波导管理论 在前几节中我们都假设了在管

12、中传播的是沿管轴方向的一维平面波。但是在管中这种平面波是如何获得的呢?我们已经提及过，一般声源在无界空间中辐射的常常是波阵面逐渐发散的球面波，现在将声的辐射约束在管子中，自然管子的形状，尺寸以及管壁材料还有声源的状态等都会对管中声波的传播产生影响。在这样复杂的因素下声波传播的方式怎么反而变得更简单呢?要回答这一问题就必须对管子的波导性质作一番研究，下面就来简要介绍。为了简单起见，我们主要介绍在一般声学研究中常遇到的两种形状的声管矩形与圆形，并且假设它们的管壁是刚性的。 5.3.1声压表达式 5.3.2 管道中的平面波 5.3.3管道中的高次波 5.3.4 声源振动的影响 5.3.1声压表达式

13、设有一矩形管，其宽度为 ，高为 ，管长用 z 坐标表示设管口取在 处，另一端延伸到无限远在这样的管中一般说来声压在 x ， y ， z 方向是不均匀的，因而声波方程应采用三维坐标的，有 5 7 1 现令解 5 7 2 代人方程（ 5 7 1 ）可得 5 7 3 这里 。对方程 (5 7 3) 再作分离变量，设 5 7 4 于是得到三个独立坐标的常微分方程 5 7 5 其中 为三个待定常数，考虑到管子的 x ， y 方向是有界的，将存在驻波，因而方程（ 5 7 5 ）中的第一与第二方程取解为如下形式： 5 7 7a 5 7 7b 对第三方程考虑到 z 方向无限没有反射波，因而取行波解为 5 7

14、7c 从 (5 7 7a) 与 (5 7 7b) 式可求得 x ， y 方向上的质点速度 5 7 8a 5 7 8b 根据刚性管壁边界条件 代人（ 5 7 8 ）式可得 5 7 9 于是（ 5 7 2 ）式解的形式可取作 5 7 10 这里 为与每一组 数值对应的方程 (5 7 1) 的一个特解，它表示了在声波导管中可能存在的沿 z 方向传播的一种声波这种声波的圆频率为 ，传播速度为 ，振幅由 决定根据 (5 7 6) 与 (5 7 9) 式可以写出 5 7 11 而 5 7 12 我们知道仅当 k z 为实数时，在 z 方向才表现有波的传播而从 (5 7 11) 式可以看到，这一 k z 并

15、不在任何条件下部为实数，因此欲在 z 方向传播声波就必须满足如下条件 5 7 13 如果 ，那么（ 5 7 11 ）式应化成 ，其中 为正的实数，于是（ 5 7 10 ）式就变成 (5 7 一 14) 此式显然代表的不是沿 z 方向传播的声波，而是表示在 z 方向媒质作衰减的整体振动 由此我们可以把管中产生沿 z 方向传播声波的条件归结为 (5 7 15) 这里 5 7 16 称为声波导管的简正频率 5.3.2 管道中的平面波 分析 可知，对于不同的一组数值 将得到不同的波。我们称对应于 的波为 次的简正波。例如对应于？ 波称为 (0 ， 0) 次波，其声压表示为 （ 5 -4- 1 ） 显然 (0 ， 0) 次波就是沿 z 轴方向波阵面为平面的一维平面波。我们在以前各节都是以这种波作为讨论前提的。现在看来，在管中这种平面波仅是可能存在的多种多样波中的一个，而不是唯一的一个。再例如 (0 ， 1) 次波为 （ 5 -4- 2 ） 从此看出，对于 (0 ， 1) 次波在垂直于 z 轴的平面上振幅将随 y 的位置而变化。为了加以区别我们称 (0 ， 0) 次波为主波，除 (0 ， 0) 次以外的波称高次波。从上面分析可以指出，只有当声源的激发频率 f 比管中