第七讲 常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,解的结构定理,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .,待定系数法,思路,通解:,,关键,求出非齐次方程的特解,方法,,,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,三、高阶线性微分方程的物理应用举例,型,型,,,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,三、高阶线性微分方程的物理应用举例,型,型, 为实数 ,,为 m 次多项式 .,, =0,,多项式函数,,m =0,,指数函数,,其它,,指数函数与多项式函数乘积,,特解形式,, 不是特征方程的根,,k=0, 是特征方程的单根,,k=1, 是特征方程的重根,,k=2,解题步骤,写出f(x)，明确和m,写出特征方程，确定k,设特解,,求特解,代入方程，比较系数,列出等式，求出系数,,例1,的一个特解.,解:,对应的齐次方程的特征方程：,设所求特解为,代入方程得:,比较系数, 得,所求特解为,不是特征方程的根 .,,例2,特征根,对应齐次方程的通解：,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,特解为,代入方程得,所求通解为,,解:,对应的齐次方程的特征方程：,是特征方程的单根,求解定解问题,解:,特征根,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,对应齐次方程通解,原方程通解为,对应的齐次方程的特征方程：,是特征方程的单根,例3,于是所求解为,由初始条件得,,,,,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,三、高阶线性微分方程的物理应用举例,型,型,,,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,三、高阶线性微分方程的物理应用举例,型,型, ,ω为实数 ,, =0,,特解形式,,+iω 不是特征方程的根,,k=0,+iω 是特征方程的根,,k=1,解题步骤,写出f(x)，明确、ω和m,写出特征方程，确定k,设特解,,求特解,代入方程，比较系数,列出等式，求出系数,,分别为l、n次多项式 .,为m次多项式,例4,的一个特解 .,解:,设特解,不是特征方程的根,,代入方程得,比较系数 , 得,方程的特解,,,,,,对应的齐次方程的特征方程：,例5,的通解.,解:,特征根,对应齐次方程的通解,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,,,,,,设非齐次方程特解,对应的齐次方程的特征方程：,例6,(1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,,,,求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,解:,,,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,三、高阶线性微分方程的物理应用举例,型,型,,,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,三、高阶线性微分方程的物理应用举例,型,型,(一) 问题的描述,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,,当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态,,物体离开平衡位置后将作上下振动,,研究物体的振动规律.,,,有阻尼自由振动微分方程,(二) 方程的建立,取平衡位置为坐标原点,,x轴铅直向下,,设时刻 t 的位移为x(t).,1．自由振动情况.,(物体不受外力作用),(1) 无阻力,物体受力:,(2) 有阻力,,,无阻尼自由振动微分方程,有阻尼自由振动微分方程,无阻尼自由振动微分方程,(二) 方程的建立,取平衡位置为坐标原点,,x轴铅直向下,,设时刻 t 的位移为x(t).,1．自由振动情况.,(物体不受外力作用),(1) 无阻力,物体受力:,(2) 有阻力,2．强迫振动情况.,(物体受干扰力作用),(1) 无阻力,无阻尼强迫振动微分方程,有阻尼自由振动微分方程,无阻尼自由振动微分方程,(二) 方程的建立,取平衡位置为坐标原点,,x轴铅直向下,,设时刻 t 的位移为x(t).,1．自由振动情况.,(物体不受外力作用),(1) 无阻力,物体受力:,(2) 有阻力,2．强迫振动情况.,(物体受干扰力作用),(1) 无阻力,(2) 有阻力,无阻尼强迫振动微分方程,有阻尼强迫振动微分方程,(三) 方程的求解,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,(三) 方程的求解,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,(三) 方程的求解,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,(三) 方程的求解,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,方程:,特征方程:,特征根:,(1),,小阻尼情形,(2),,大阻尼情形,(3),,临界阻尼情形,,,,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,(三) 方程的求解,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,(三) 方程的求解,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:,方程:,令,(1),若,不是特征方程的根,,求得:,,(2),若,是特征方程的根,,求得:,,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,(三) 方程的求解,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,,,(四) 方程解的特征,设,(四) 方程解的特征,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,,,设,利用初始条件得:,,方程特解:,简谐振动,,,,振幅,初相,周期,固有频率,(四) 方程解的特征,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,,,设,(四) 方程解的特征,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,,,设,小阻尼: n < k,有阻尼自由振动情况,(1),由初始条件确定任意常数后变形,,物体随着时间t 的增大趋于平衡位置.,大阻尼: n > k,有阻尼自由振动情况,(2),解的特征:,物体不再有振动现象,,,物体随时间t 的增大趋于平衡位置.,临界阻尼: n = k,有阻尼自由振动情况,(3),解的特征:,物体不再有振动现象,,,物体随时间t 的增大趋于平衡位置.,(四) 方程解的特征,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,,,设,(四) 方程解的特征,有阻尼自由振动方程,无阻尼自由振动方程,1．自由振动情况.,2．强迫振动情况.,无阻尼强迫振动方程,,,,,,设,无阻尼强迫振动情况,(1),,,固有频率:k,干扰力频率:p,无阻尼强迫振动情况,(2),,,此时将发生共振现象.,为了避免共振现象,应使p不要靠近k;,若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p=k.,。