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1、TSINGHUA UNIVERSITY由于梁发生弯曲变形 ， 梁横截面的位置发生改变 ， 这种改变称为 位移 。 位移是各部分变形累加的结果 。 位移与变形有着密切联系 ， 但又有严格区别 。 有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形 。 这是因为 ， 杆件横截面的位移不仅与变形有关 ， 而且还与杆件所受的约束有关 。 在数学上 ， 确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算 ，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关 。 第 8章 梁的位移分析与刚度设计 若材料的应力一应变关系满足胡克定律 ， 又在弹性范围内加载 ， 则位移与力 （ 均为广义的 ） 之间均存在线性关系 。因此 不同的力在同
2、一处引起的同一种位移可以相互叠加 。 TSINGHUA UNIVERSITY 梁弯曲后的挠度曲线 基本概念 梁在弯矩作用下发生弯曲变形 。 如果在弹性范围内加载 ，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线 。 这一连续光滑曲线称为 弹性曲线 ， 或 挠度曲线 ， 简称 弹性线 或 挠曲线 。 根据上一章所得到的结果 ， 弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩 、 弯曲刚度之间存在下列关系： EIM1TSINGHUA UNIVERSITY梁在弯曲变形后 ， 横截面的位置将发生改变 ， 种位置的改变称为位移 。 梁的位移包括三部分： 横截面形心处的 铅垂位移 ， 称为 挠度 ， 用
3、w表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴 转过的角度 ， 称为转角（ slope） 用 表示； 梁的挠度与转角 基本概念 横截面形心沿水平方向的位移 ， 称为 轴向位移 或 水平位移 ， 用 u表示 。 在小变形情形下 ， 上述位移中 ， 水平位移 u与挠度 w相比为高阶小量 ，故 通常不予考虑 。 TSINGHUA UNIVERSITY在 Oxw坐标系中 ， 挠度与转角存在下列关系： 梁的挠度与转角 基本概念 在小变形条件下 ， 挠曲线较为平坦 ， 即 很小 ， 因而上式中 tan。于是有 tandd xwxwddw w（ x），称为挠度方程。 TSINGHUA UNIVERSITY
4、位移分析中所涉及的梁的变形和位移 ， 都是弹性的 。 尽管变形和位移都是弹性的 ， 工程设计中 ， 对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制 。 弹性位移过大 ， 也会使结构或构件丧失正常功能 ， 即发生刚度失效 。 例如机械传动机构中的齿轮轴 ， 当变形过大时 ， 两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角 ， 这不仅 会影响两个齿轮之间的啮合 ， 以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损 ， 同时将在转动的过程中产生很大的噪声 ；此外 ， 当轴的变形很大使 ， 轴在支承处也将产生较大的转角 ， 从而使轴和轴承的磨损大大增加 ， 降低轴和轴承的使用寿命 。 工程设计中还有另外一类问题：希望在构件不发生
5、强度失效的前提下 ， 尽量产生较大的弹性位移 。 例如各种车辆中用于减振的板簧既可以承受很大的力而不发生破坏 ， 同时又能承受较大的弹性变形 ， 吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能 。 TSINGHUA UNIVERSITY力学中的曲率公式 数学中的曲率公式 小挠度微分方程及其积分 小挠度情形下 弹性曲线的小挠度微分方程，式中的 正负号与 w坐标的取向有关 。 EIMxw 22ddEIM12/322222dd1dd1xwxw2/322222dd1dd1xwxw1d xwTSINGHUA UNIVERSITYEIMxw 22ddEIMxw 22dd00dd 22 Mx w ,00dd 22 Mx
6、w , 小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分 TSINGHUA UNIVERSITY 小挠度曲线微分方程 小挠度微分方程及其积分 采用 向下的 w坐标系 ，有 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对 x作不定积分 ,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程： 其中 C、 D为积分常数。 EIMxw 22ddCdxEI xMxw l )(ddDCxdxdxEI xMwl l )(TSINGHUA UNIVERSITY积分法中常数由 梁的约束条件与连续条件 确定 。 约束条件是指约束对于挠度和转角的限制： 积分常数的确定约束条件与连续条件 小挠度微分方程及
7、其积分 在 固定铰支座和辊轴支座 处 ， 约束条件为挠度等于零： w=0; 连续条件 是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2， 1 2等等。 在 固定端处 ， 约束条件为挠度和转角都等于零：w=0， 0。 TSINGHUA UNIVERSITY求：加力点 B的挠度和支承 A、 C处的转角。 例题 1 已知：简支梁受力如图示。FP、 EI、 l均为已知。 解： 1 确定梁约束力 因为 B处作用有集中力 FP，所以需要分为 AB和 BC两段建立弯矩方程。 首先应用静力学方法求得梁在支承 A、 C二
8、处的约束力分别如图中所示。 2 分段建立梁的弯矩方程 在图示坐标系中，为确定梁在 0 l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端 A处的约束力 3FP/4；而确定梁在 l/4 l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端 A处的约束力 3FP/4和荷载 FP。 TSINGHUA UNIVERSITYAB段 2 分段建立梁的弯矩方程 BC段 于是， AB和 BC两段的弯矩方程分别为 1P3 044 lM x F x x 2 P P34 4 4llM x F x F x x l 3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 2 1 1P2d 3 0d 4 4w lE I M x F x xx 2 2 2
9、 P P2d 3d 4 4 4w llE I M x F x F x x lx 积分后，得 12P1 83 CxFEI 22P2P2 42183 ClxFxFEI 113P1 81 DxCxFE I w 223P3P2 46181 DxClxFxFE I w 其中 C1、 D1、 C2、 D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与 BC段梁交界处的连续条件确定确定。 TSINGHUA UNIVERSITY4 利用约束条件和连续条件确定积分常数 在支座 A、 C两处挠度应为零，即 x 0， w1 0; x l， w2 0 因为梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以 AB段与 BC段梁 交界处的挠
10、度和转角必须分别相等 : x l/4， w1 w2 ; x l/4， 1=2 12P1 83 CxFEI 22P2P2 42183 ClxFxFEI 113P1 81 DxCxFE I w 223P3P2 46181 DxClxFxFE I w D1 D2 =0 2P21 1 2 87 lFCC 将所得的积分常数代入后 ,得到梁的转角和挠度方程为： 22P 378 1 2 8Fx x lEI AB段 BC段 xlxEIFxw 23P 1 2 8781 222P 3 1 78 2 4 1 2 8F lx x x lEI xllxxEIFxw 233P 128746181EIlFw B3P2563
11、 2P7128A FlEI 2P5128B FlEI TSINGHUA UNIVERSITY 确定约束力 ,判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定 挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角 积分法小结 分段写出弯矩方程 TSINGHUA UNIVERSITY在很多的工程计算手册中 ， 已将各种支承条件下的静定梁 ， 在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出 ， 简称为挠度表 。 P171-173 工程中的叠加法 叠加法 : 在小变形条件下 (满足胡克定律的前提下 )， 当梁上受有 几种不同的载荷 作用时 ， 都可以将 其
12、分解为各种载荷单独作用的情形 ， 由挠度表查得这些情形下的挠度和转角 ， 再将所得结果叠加后 ， 便得到几种载荷同时作用的结果 。 TSINGHUA UNIVERSITY例题 2 已知简支梁受力如图示， q、 l、EI均为已知。 求 C截面的挠度 wC ； B截面的转角 B 321 CCCC wwww 解： 1.将梁上的载荷变为 3种简单的情形。 1 2 3B B B B 2.由挠度表查得 3种情形下 C截面的挠度 ； B截面的转角 。 EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 应用叠加法，将简单载荷作
13、用时的结果分别叠加 ,EIqlwwiCiC431 3 8 411 EIqliBiB331 4811 TSINGHUA UNIVERSITY对于 间断性分布载荷 作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为 梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷 ，最后应用叠加法。 工程中的叠加法 例题 3 已知悬臂梁受力如图示， q、 l、 EI均为已知。求 ： C截面的挠度和 转角 wC 和 C TSINGHUA UNIVERSITY解： 1. 首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，
14、在 AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。 分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为 2再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。 41432 2 218112 1 2 8 4 8 2,CC B BqlwEIl q l q l lwwE I E I EIqlEIqlCC323148161 ,解： 3将简单载荷作用的结果叠加 ,EIqlwwiCiC421 3 8 441 EIqli CiC321 487 TSINGHUA UNIVERSITY 求解静不定梁的基本方法 简单的 静不定梁 求解静不定梁 除了平衡方程外 ， 还需要根据多余约束对位移或变形
