中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析

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1、中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变” 的元素中寻求 “不变”的量一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。以下以 2010 年中考题为例说明具体的求解策略一、长度定值例 1 （2010 山东聊城）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个

2、动点，矩形的两条边AB、BC 的长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ）A B C D不确定256525解析：因为四边形 ABCD 是矩形，由勾股定理得 AC=BD=5.过点 P 分别作 AC、BD 的垂线 PE、PF，容易得PDFBDA， ，即 ， ，DFBA53PF35P同理 ，3EPE+PF 故答案为 A。12()55P点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如 P 与 A重合、P 与 B 重合或 P 为 AD 的中点等特殊情形下，求出 PEPF 的值探求答案二、角度定值例 2 （2010 年广东广州）如图，O

3、 的半径为 1，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是 上任一点（与端点 A、B 不重合） ，DE AB 于点 E，以点 D 为圆:A心、DE 长为半径作D，分别过点 A、B 作D 的切线，两条切线相交于点 C（1）求弦 AB 的长；（2）判断ACB 是否为定值，若是，求出ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）略分析：（1）连接 OA，OP 与 AB 的交点为 F，则OAF 为直角三角形，且 OA1，OF，借助勾股定理可求得 AF 的长，根据垂径定理求得 AB；（2）要判断ACB 是否为定2值，只需判定CABABC 的值是否是定值，由于D 是ABC 的内切圆，所以 A

4、D 和BD 分别为CAB 和ABC 的角平分线，因此只要DAEDBA 是定值，而DAEDBA 等于弧 AB 所对的圆周角，这个值等于AOB 值的一半，只需看AOB 值即可。解：（1）连接 OA，取 OP 与 AB 的交点为 F，则有 OA1弦 AB 垂直平分线段 OP，OF OP ，AFBF12在 Rt OAF 中，AF ，AB2AF 2OA2()33（2）ACB 是定值.理由：由（1）易知，AOB120 ，因为点 D 为ABC 的内心，所以，连结 AD、BD ，则CAB2DAE，CBA 2DBA ，因为DAEDBA AOB60，所以CABCBA120，所以ACB60；1（3）略点评：本题是圆

5、为载体的角度定值问题，考查了三角形内切圆、角平分线的性质、三角形内角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算得到定值。三、周长定值例 3 （2010 重庆）已知：如图（1） ，在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上另一等腰OCA 的顶点 C 在第四象限，OCAC，C120现有两动点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 AOB 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1） （2）略（

6、3）如图（2） ，现有MCN60，其两边分别与 OB、AB 交于点 M、N，连接 MN将MCN 绕着 C 点旋转（0旋转角60） ，使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB上试判断在这一过程中，BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由解：（1） （2）略（3） 的周长不发生变化BMN FNM ABCO xy 图延长 至点 ，使 ，连结 （如图）BAFOMCF ，90,MOCA ， FFC CNAMONA60CMN 又 ,MF CNNF BBAFBOMBO4 的周长不变，其周长为 4点评：本题是定角（60）在等边三角形内旋转的动态几何问题，探究运用过程中的的周

7、长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差，直接计算证明了周长为定值。解题时，也可让MCN 运动到 MN 平行于 OA 或 M 与 O 重合或 N 与 A 重合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。三、面积定值例 3 （2010 广州）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0） ，（0，1） ，点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线 y 交折线 OAB 于点 E2xb（1）略（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究 O

8、1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化解：（1）略（2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，则矩形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。由题意知，DM NE，DN ME， 四边形 DNEM 为平行四边形根据轴对称知，MED NEDC D BAEO xy又MDENED

9、，MED MDE，MD ME ， 平行四边形 DNEM 为菱形过点 D 作 DHOA，垂足为 H，因为直线 DE 的解析式 中，比例系数 k ，y12xb12所以 tanDEN ，因为 DH1，HE 2，设菱形 DNEM 的边长为 a，则在 RtDHM 中，由勾股定理知： ，22()1a54S 四边形 DNEMNEDH 54矩形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 点评：本题是点动、线动相结合的平面直角坐标系中的动态几何题，通过运动时所形成的不同位置，考查了矩形、一次函数、直角三角形勾股定理、方程、面积、轴对称变换、锐角三角函数等知识点和数形结合的数学思

10、想。第（2）小题是以面积为载体的动态探究题，从面积的角度探求动态过程中的不变量，解题的关键是找出动态过程中的不变量，通过直接计算求得定值。五、比值定值例 5 （2010 湖北咸宁）如图，直角梯形 ABCD 中，ABDC， ，90DAB， 动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点24ADC6ABB 运动；同时点 P 以 相 同 的 速 度 ，从点 C 沿折线 C-D-A 向 点 A 运 动 当 点 M 到 达 点B 时 ， 两 点 同 时 停 止 运 动 过 点 M 作 直 线 lAD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t

11、（秒） （ 1） 、 （2）略（3）当 t2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 是否为定值，若是，试求这Q个定值；若不是，请说明理由分析：（3）当 t2 时，确定动点 P、Q、M 在图形上的位置，点 P 在 AD 上，点 Q 在 BC上，画出图形，观察、分析线段 CQ、RQ 与已知线段有没有关系，是否存在相似三角形解：（1） （2）略 （3） 为定值 CQR当 2 时，如备用图 2，作 CF ABt4()6PADttA BCD （备用图 1） A BCD （备用图 2）QA BCD l MP（第 24 题）E A BCD（备用图 2）MQRFP CF AD 44BFA C5BF 6

12、QMtQPA四边形 AMQP 为矩形 CRQCAB 24263F点评：本题是一道以直角梯形为框架的动态几何问题，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用辅助线方法等知识点，体现了分类讨论的思想。第（3）问是关于线段比的定值探究题，解题时，需要画出当 t2 时的图形，把 “动态”问题转化为“静态”问题，根据相似三角形对应线段成比例，将 转化为其他线段的比，探明线段比是否为定值CQR六、积定值例 6.（2010 广东深圳）如图 1，以点 M（1,0）为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交于点A、B 、C 、D，直线 y x 与 M 相切于点 H，交 x轴于点 E，交 y 轴于点33 533F（1）请直接写出

13、 OE、 M 的半径 r、CH 的长；（2）略（3）如图 3，点 K 为线段 EC 上一动点（不与 E、C 重合） ，连接 BK 交M 于点 T，弦 AT 交 x 轴于点 N是否存在一个常数 a，始终满足 MNMKa，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在，请说明理由解：（1）如图 4，OE=5， ，CH=22r（2）略（3）如图 6，连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，则 90TA90，423由于 ，故， ；BKO2BKO而 ，故1在 和 中， ；AMNAMN故 ；所以 ;:4321 xyNTDABHCEMOKGF图 61xyDABHCEMOF图4即： 24MNKA:故存在常数 ，始终满足 MNMKa ， 常数a4点评：本题是平面直角坐标系中以圆为框架的动态几何探究题，考查了一次函数、圆的基本性质、切线的性质、相似三角形、锐角三角函数等知识点及数形结合、函数与方程等数学思想，第（2）小题是线段积的定值探究题，根据相似三角形对应线段成比例，得到线段积的关系，因此，解题时，构造以 MN、MK 为边的相似三角形，直接计算求得定值，灵活性较强，综合性较高，对学生来说难度较大。