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1、轻松寒假，快乐复习 30 天第 11 天 空间角和距离（向量法）思路点睛1.异面直线所成的角公式为 （这里 是两条异面直线所成的角；|cos.ABCD点 A，B 为第一条直线上任意两点，点 C，D 为第二条直线上任意两点）2.线面角公式为 （这里 是空间直线和平面所成的角， 指的是|sin.斜 法斜 法 斜空间直线上任意两点所连成的向量， 指的是平面的法向量）法3.二面角公式为 （这里 是二面角的平面角或其补角， 是第21cos.|法 法法 法 1法一个平面的法向量， 是第二个平面的法向量）2法4.点到面距离的距离公式为 （这里 表示点到面距离， 指的是那一点|d斜 法法 d斜到那一平面内任意
2、一点所连成的向量， 指的是该平面的法向量）法说明：（1）1、2、4 的分子都有绝对值；（2）直线与平面的距离，平面与平面的距离都可以转化为点到平面的距离。典型试题1.若向量 ，且 与 的夹角余弦为 ，则 等于（ ）)2,1(),1(baab98A. B. C. 或 D. 或2552【答案】C【解析】 268cos, ,93ab或2如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直,且 AC=BC=2,ACB=90,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为（ ）A. 36 B. 36 C. 3 D. 3【答案】A【解析】试题分析：以点 为空
3、间坐标系的原点建立坐标系，则C，所以 ，因此02,1021ADGF， 0212ADGF，而线线夹角取值范围是 ，故取正值，A43cos 62F 0,9正确.3已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦等于（ ） A. B. C. D.64023【答案】A【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2，A（0，1,0） ，B1（ ，0,2） ，则 （ ，1,2） ，O（0,0,0） ，B（ ，0,0） ，31AB33则 （ ，0,0）为侧面 ACC1A1 的法向量由 sin .BO3 1ABO644.若 A ，B ，C ，则A
4、BC 的形状是（ ）)1,2(),4()4,16(A.不等边锐角三角形 B.直角三角形来源:学科网C.钝角三角形 D.等边三角形来源:学科网 ZXXK【答案】A【解析】 ， ，得 为锐角；(3,42)(5,13)(2,1)ABCB0ABCA，得 为锐角； ，得 为锐角；所以为锐角三角形0C0A5.若 A ，B ，当 取最小值时， 的值等于（ ）),5(x),(xxA. B. C. D.1978149【答案】C【解析】 222(,23,),()(3)()ABxABxx，当 时， 取最小值21439x876 空间四边形 中， ， ，则 的值是（ OC3OCcos,OABC）A. B. C. D.2
5、12210【答案】D 【解析】 coscos()33cos, 0OACAOBOABCB7.已知正方体 的棱长是 ，则直线 与 间的距离为 .1D11D【答案】 3【解析】 1 1(0,)(1,)(0,)(,)(,0)(,)ACACA设 MNxyzMNDxyzyt令则 ，而另可设(,)t(,)(,)(,)mabNmab，1,(02,),3matttb 113(,)39M8如图 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F 且 EF，则下列结论中错误的是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2ACBEEF平面 ABCD三棱锥 ABEF 的体
6、积为定值异面直线 AE，BF 所成的角为定值【答案】【解析】AC平面 BB1D1D，又 BE平面 BB1D1D.ACBE，故 A 正确B 1D1平面 ABCD，又 E、F 在直线 D1B1上运动，EF平面 ABCD，故 B 正确C 中由于点 B 到直线 B1D1的距离不变，故BEF 的面积为定值，又点 A 到平面 BEF 的距离为 ，故 VA-BEF为定值2（1）当点 E 在 D1处，点 F 为 D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得 A（1,1,0） ，B（0,1,0） ，E（1,0,1） ，F ，1,2， （0，1,1） ， ，B1,2， - .AEBF32又|AE| ，|B
7、F| ，6cos ， .AEBF1326此时异面直线 AE 与 BF 成 30角（2）当点 E 为 D1B1的中点，点 F 在 B1处时，此时 E ，F（0,1,1） ，,2， ， （0,0,1） ，A,， - 1，| | ，EBFAE22116cos ， ，故选 D.1BF3629.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且GC2，则点 B 到平面 EFG 的距离是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j【答案】 12【解析】由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过 B
8、且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离解：如图，设 CD4i， 4j， CG2k，以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 Cxyz由题设 C（0,0,0） ，A（4,4,0） ，B（0,4,0） ，D （4,0,0） ，E（2,4,0） ，F（4,2,0） ，G（0,0,2） (2,0)BE， (4,20)F，4， ，(,)F设 BM平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得 aBbc(1)abc， (2,0)(4,20),42)（2a+4b,2b4c,2c） 由 B平面 EFG，得 E， F，于是G
9、E， F (24,2)(,4)01abc整理得： 10235cba，解得15731abc BM（2a+4b,2b4c,2c） )6,2( 226|11故点 B 到平面 EFG 的距离为 10.已知正方体 ABCD ABCD的棱长为 1，求直线 DA与 AC 的距离【答案】 3【解析】设异面直线 、 AC 的公垂线 是直线 l，则线段 在直线 l 上的射影就是两异面 直线的公垂线段，所以此 题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设 ABi， Cj， Bk，以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 xyz，则有 (1,0)， (,1)D， (,0)A， (,1)C (0,1)DA， (
10、1,0)AC， (0,1)A设 n xyz是直线 l 方 向上的单位向量，则 22xyz n ，n ， 1022zyx，解得 3zyx或 3xyz取 n 3(,)，则向量 A在直线 l 上的投影为n A )3,( )1,0(3由 两个向量的数量积的几何意义知，直线 DA与 AC 的距离为 311.如图，四棱锥 的底面 为菱形， ，侧面 是边长为PABC60BCPAB2 的正三角形，侧面 底面 .QAB CDM（）设 的中点为 ，求证： 平面 ；PQABCD来源:学.科.网来源:学#科#网 Z#X#X#K（）求斜线 与平面 所成角的 正弦值；PDABC（）在侧棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小
11、为 ，求 的值.MBDC60CMP【答案】 （）见解析；（） ；（）30125【解析】（）证明：因为侧面 是正三角形， 的中点为 ，所以 ，来源:Zxxk.ComPABABQPAB因为侧面 底面 ，侧面 底面 = ， 侧面 ，CDCD所以 平面 .PQ（）连结 ，设 ，建立空间直角坐标系 ，ABOOxyz则 ， ， ， ， ，0,O3,0,10C3,0D31,2P,平面 的法向量 ，31,2PDABCD0,1m设斜线 与平面 所成角的为 ，则 . 3sinco 10274mP（）设 ，则 ，3,2CMttt 3,2Mtt， ，3,1,2Bttt 231,0DB设平面 的法向量为 ，则 ，D,n
12、xyz 0nDBx，330122nMBttytz取 ，得 ，又平面 的法向量 所以3z60,32tnABCD0,1m，所以 ，coscosm 236t解得 （舍去）或 .所以，此时 . 2t25t 5CMP真题摘编（2013 高考真题）如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA 1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.（1）求证:AA 1平面 ABC;（2）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值;（3）证明:在线段 BC1存在点 D,使得 ADA 1B,并求 的值.1BDC【答案】 （1）见解析；（2） （3）见解析625【解析】解:（1）因为 A
13、A1C1C 为正方形,所以 AA1 AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C,且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1平面 ABC.（2）由（1）知 AA1 AC,AA 1 AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 ABAC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- ,则 B（0,3,0）,A 1（0,0,4）,B 1（0,3,4）,C 1（4,0,4）,xyz设平面 A1BC1的法向量为 ,则 ,即 , )n=(10ACn340yzx令 ,则 , ,所以 .3z0x4y0,43同理可得,平面 BB1C1的法向量为 ,所以 . 由题知二()m=16cos25nm,|面角 A1-BC1-B1为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1的余弦值为 .625（3）设 D 是直线 BC1 上一点,且 .所以 .解得(,)xyz 1BDC(,3)(4,)xyz, , .434所以 . (,)A由 ,即 .解得 .10DB9250925因为 ,所以在线段 BC1上存在点 D, 25使得 ADA 1B.此时, .19BC
