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1、轻松寒假，快乐复习 30 天第 15 天 函数的性质思路点睛1.利用定义判断或证明函数的单调性的方法：2利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f（ x）与 f（x）的关系；作出相应结论：若 f（ x）= f（x ）或 f（x ）f （x ）= 0，则 f（x ）是偶函数；若 f（ x）=f （x ）或 f（x）f（x）= 0，则 f（x）是奇函数。3.关于周期性、对称轴的几条结论： （1）若满足 f（xa）f（x） ，则 f（x2a）f（xa）af（xa）f（x） ，所以 2a 是函数的一个周期（a0） ；（2）若满足 ,则 f（x 2a
2、 ）f（xa）a f（x） ，所以(+)=1() 1(+)2a 是函数的一个周期（a0） ；（3）若函数满足 f（xa）- , 同理可得 2a 是函数的 一个周期（a 0） ；1()（4）若 f（x+a）=f（x-a ）,则 2|a|是函数的一个周期（a0） ；若 f（a+x）=f（a-x）,则 x=a 是函数的一个对称轴； （5）若 f（x+a）=f（x+b） （ab）,则|a-b| 是函数的一个周期；若 f（a+x）=f（b-x） （ab ）, 则 是函数的一个对称轴。=(+)+()24.注意点：（1）多个单调区间（即使 单调性相同）之间不能用并集符号。判函 数奇偶性时先看定义域。（2）若
3、奇 函数 f（x ）定义域中含有 0，则必有 f（0）0 。（3）复合函数的单调性满足 “同增异减” 。 典型试题 来源:学#科# 网1.下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为A B 1yxlgyxC Dsine2【答案】D【解析】试题分析：函数 是奇函数，在 ， 上单调递减，不在整个定义域内单xy10,调递减， 定义域不关于原点对称，不具有奇偶性， 是奇函数，但在定义lg xysin域内有增，有减， ，2xef，定义域是 ，故 是奇函数，由于xfexfx2R2xef是减函数， 在 上也是减函数，因此 在定义域内单调递减，xe1xxf故答案为 D.2.已知函数 在5，20 上是单调
4、函数，则 的取 值范围是（ ）84)(2kxxh kA 0,B )16C (,4,)D 【答案】C【解析】函数 的对称轴为2hx4k8（ ） x8k若函数 在5 ，20 上是单调函数，x（ ） 则 或 ,解得 或 ,58k820 k4016所以 k 的取值范围是 （ ， ， ）3.定义在 上的偶 函数 满足：对任意的 ，有R()fx1212,0,)(xx，则 （ ）21()0fxfA (3)()ffB (1)2(3)ffCD (3)()ff【答案】A【解析】试题分析：由题意对任意的 ，有 可得 在1212,0,xx21fxf()fx为减函数，而 为偶函数，故 0,)()f(3)()ff4.已知
5、函数 ， ， 则 f（3）的值为（ ）53()fxabcx7fA13 B7 C D17【答案】C【解析】因为 ，53()fxabcx所以 ，而 ，53()()6f f， (3)7f所以 .选 .36()6713ffC5.已知 满足 ，且当 时， ，则当 时，x)(xf02)(xf 0x的表达式为（ ）)(fA 2xB )(fC xD 2)(f【答案】A【解析】当 时， ，所以 .0x()()2fxfxx6.设 f（ x）为奇函数, 且在（- , 0）内是减函数, f（-2）= 0, 则 xf（x）0， f（x） .又 f（x） ，23x244()2f（ x ）f（x） f（x ）为奇函数12.
6、已知函数 （ 为实数， ， ） 2()1ab, a0aR（）当函数 的图像过点 ，且方程 有且只有一个根，求 的表f(0)()fx()fx达式；（）在（）的条件下，当 时， 是单调函数，求实数 的2, x()gfkk取值范围；（） （有点难度哦）若 当 ， ， ，且函数() 0,fxFmn0a为偶函数时，试判断 能否大于 ？()fx()mn【答案】 （） ；2()1fx（）即 或 时， 是单调函数6k ()gx（） ()0Fmn【解析】解：（）因为 ，所以 (1)f10ab因为方程 有且只有一个根，所以 .0x24a所以 即 ， 24()b2所以 21fx（）因为 22()1()1gfxkxk
7、x= 2(14kx所以当 或 时， 2k即 或 时， 是单调函数6k ()gx（） 为偶函数，所以 所以 ()fx0b2()1fxa所以 21 ,.axF因为 ，不妨设 ，则 .0mn0n又因为 ，所以 .所以 此时 .22()()1Fnffnamn2()0amn所以 来源:学科网0m真题摘编2014 高考真题 已知函数 f（x） ，则下列结论正确的是（ ）21,0cosxAf （x）是偶函数Bf（x）是增函数C f（x ）是周期函数Df（x ）的值域为 1，）【答案】D 【解析】由函数 f（x）的解析式知，f（1）2，f（1）cos （1 ）cos 1，f（1）f（1） ，则 f（x ）不是偶函数；当 x0 时，令 f（x）x 21，则 f（x ）在区间（0，）上是增函数，且函数值 f（x）1；当 x0 时，f （x）cos x，则 f（x ）在区间（，0上不是单调函数，且函数值 f（x ） 1，1；函数 f（x）不是单调函数，也不是周期函数，其值域为 1 ，）
