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1、轻松寒假，快乐复习 30 天第 25 天 曲线与方程思路点睛1.求轨迹方程的常用方法：（1）定义法：根据解析几何中一些常用定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义） ，从定义出发列出关系式，从而求出轨迹方程。（2）相关点法：动点 P 因曲线 C 上动点 Q 变化而变化，可考虑此法。其关键是用未知点 P 的坐标表示出曲线上点 Q 的坐标，再将 Q 的坐标代入曲线 C 的方程。（3）有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却 容易发现（或经过分析发现）这个动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距，或时间等）的制约，即动点的坐标（x,y）分别随另一个变量的变化而变化，我们称这个变量
2、为参数，建立轨迹的参数方程。如果需要得到普通方程，只要消参就可以了。2. 注意事项：求轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹不但要求出方程，还必须说明所求轨迹的形状、位置、大小等。而求轨迹方程只需求出方程即可。在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹的纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程之后，应仔细检查有无“不法分子”搀杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”逍遥法外，将其捉回。典型试题1.设 为定点， | |=6，动点 M 满足 ，则动点 M 的轨迹是 （ 21,F21 6|21F）A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【答案】D【解析】因为 2c=2a,所以不是椭圆，是线段。2.点 P（4
3、，2）与圆 24xy上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ）A ()(1)xy B 22()(1)4xyC 22 D【答案】A 【解析】设所求轨迹上任一点坐标为( x, y),则 (24,)xy为圆24xy上的点,代入整理可得22()(1)xy, 故应选 A.3.与圆 及 都外切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）1)3(2yx9)3(2yxA. B. 奎 屯王 新 敞新 疆21818()xC. D. （y1）2xy2xy【答案】B【解析】设动圆的半径为 r，则由动圆与定圆都外切得，MFr1,321又因为 ，2)(3r由双曲线的定义可知，点 M 的轨迹是双曲线的一支 奎 屯王 新 敞新 疆所求动圆圆心的轨
4、迹是双曲 线的一支，其方程为： 奎 屯王 新 敞新 疆182yx)(x4已知抛物线 mx2(0)ynx( )与椭圆 n29=1 有一个相同的焦点，则动点 ),(nm的轨迹是( ) A椭圆的一部分 B双曲线的一部分 C抛物线的一部分 D直线的一部分【答案】C【解析】由 mx2(0)ynx( )得2(0)ynx,其焦点为( 8m,0) ( 0),因为抛物线与椭圆有一个相同的焦点，所以椭圆 ny29=1 的一个焦点为( 8m,0),2)8(9n,得 )(64n ( 0m, )5.过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标
5、原点，若 BPA且 OQB=1，则点 P 的轨迹方程是 （ ）A231(0,)xyxyB231(0,)xyxyC2(,)D2(,)【答案】D【解析】设 P(x,y)，则 Q (-x,y)，由 2BPAA(3,0x),B(0,3y)， (,)y- 从而由 OQAB=(-x,y)(-32x,3y)=1 得231xy其中 x0,y0,故答案选 D6.方程 |3|22yx表示的曲线是 ( )A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线【答案】C【解析】解法 1. 已知方程就是2|3|22 yxyx，由双曲线的第二定义，可知动点 Pyx,到定点（2，2）的距离与到定直线 0的距离比为 2，因为12，所以选
6、 C.解法 2. 由 |3|22yxyx的两边平方并整理得00y.令 vu,，则01212vuvu，整理得 9882 ，即 32v，故已知方程表示双曲线，选 C.评析：根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某 二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项 xy.如何消去乘积项便成了问题的关键.解法 2 表明 对称换元是消去乘积项的有效方法.解法 1 从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线 03yx的距离之比为 2的动点 yx,的轨迹，根据双曲线定义选 C.显示了发现与联想在解题中的作
7、用.拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若 |22 CByAxbyax（ ba、 为常数，且 BA、 不全为零） ，则（1）当 102BA时，方程表示 ba,为一个焦点，直线 0CByAx为相应准线的椭圆.（2）当 2时，方程表示 ,为一个焦点，直线 为相应准线的双曲线.（3）当 12BA且 0cba时，方程表示过点 ba,且与直线0Cyx垂直的直线.（4）当 2且 c时，方程表示 ,为焦点，直线ByAx为准线的抛物线.读者可仿照解法 1，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理.7.（有点难度哦） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面为正方形，侧面 PAD 与底面
8、ABCD 垂直，M 为底面内的一个动点，且满足 MP=MC，则动点 M 的轨迹为（ ）A椭圆 B抛物线 C双曲线 D直线 【答案】D【解析】由 MP=MC , 知 M 在 PC 的垂直平分面内，又 M 面 ABCD M 在两平面的交线上故答案选 D8.已知ABC 的三边 AB、BC、CA 的长度成等差数列，且|AB|CA|，点 B、C 的坐标为(1,0)、(1,0)，则动点 A 的轨迹方程是_【答案】 1(x0 且 y0)24x3y【解析】由题意知|AB|CA|2|BC|4，由椭圆的定义，知动点 A 的轨迹为 1(x0 且 y0)2xy9.已知两个点 M(-5,0)和 N(5,0)，若直线上存
9、在点 P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型直线” ，给出下列直线：y=x+1; 43yx；y=2；y=2x+1其中为“B 型直线”的是_ （填上所有正确结论的序号）【答案】 【解析】|PM|-|PN|=6 点 P 在以 M、N 为焦点的双曲线的右支上，即2196xy(x0)，将直线方程与其联立，方程组有解,判断其答案为10.（有点难度哦）过定点 P(1,4)作直线交抛物线 y2x 2于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线的切线若这两条切线的交点记为 M，则点 M 的轨迹方程是_【答案】y4x4【解析】设 M(x，y)，A(x 1,2x )，B(x 2,2x )，由 P，A，B
10、 三点共线得 x1x 2x 1x22，212由题 意知直线 AM，BM 的斜率分别为 4x1和 4x2，直线 AM 和直线 BM 的方程分别为y4x 1x2x 和 y4x 2x2x ，得点 M 的坐标为 ，所以2 121(,)xx ，y2x 1x2，代入 x1x 2x 1x22，可得点 M 的轨迹方程是 y4x4.来源:Zxxk.Com11.过双曲线 x2y 21 上一点 M 作直线 xy2 的垂线，垂足为 N，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程来源:学&科&网【答案】2x 22y 22x2y10.【解析】设动点 P 的坐标为(x，y)点 M 的坐标为(x 0，y 0)，则 N(2xx 0,
11、2yy 0)由 N 在直线 xy2 上，得 2xx 02yy 02.由 PM 垂直于直线 xy2，得 1，0即 x yx 0y 00.由得 x0 x y1，32y0 x y1，代入双曲线方程得来源:Zxxk.Com1，2233xy整理得 2x22y 22x2y10.即点 P 的轨迹方程2x22y 22x2y10.12.已知动圆 P 过点 F 且与直线 y 相切10,414(1)求圆心 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A，B 两点，轨迹 C 在 A，B 两点处的切线 相交于 N，M 为线段 AB 的中点，求证：MNx 轴来源:Z|xx|k.Com【答案】(1)
12、x 2y (2)见解析【解析】(1)由已知，点 P 到点 F 的距离等于到直线 y 的距离，根据抛物线的10,414定义，可得动圆圆心 P 的轨迹 C 为抛物线，其方程为 x2y.(2)证明：设 A(x1，x )，B(x 2，x )2yx 2，y2x.AN，BN 的斜率分别为 2x1,2x2.故 AN 的方程为 yx 2x 1(xx 1)，2BN 的方程为 yx 2x 2(xx 2)，即 12两式相减，得 xN ，又 xM ，112所以 M，N 的横坐标相等，于是 MNx 轴真题摘编2014 高考真题 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1，0)的距离比它到 y 轴的距离多1.记点
13、 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)（注意分类讨论哦）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围【答案】(1) y 2 (2)见解析4,0x【解析】(1)设点 M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即 |x|1，2(x)y化简整理得 y22(|x|x)故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2 4,0x(2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y 24x，C 2：y0(x .来源:Zxxk.Com02即当 k(，1) 时，直线 l 与 C1没有公共点，与 C2有一个公共点故此,时直线 l 与轨
14、迹 C 恰好有一个公共点(ii)若 或0x0由解得 k 或 k0.1,2即当 k 时，直线 l 与 C1只有一个公共点,当 k 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2没有公共点1,02故当 k 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点,2(iii)若 由解得1k 或 0k .0x12即当 k 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点，1,2,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点综上可知，当 k 0时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点；当,1,2k 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k 1,02, 1,2时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点,
