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1、1,实模态分析小结,多自由度线性系统的振动,1 固有振型是用向量形式所描述的系统作固有振动时各坐标位移之间的比例关系。2 任一固有振型与非零实数相乘后仍然是系统的固有振型，为了规范表示，通常要做固有振型的归一化处理。3 要使系统发生纯固有模态振动，必须满足特定的运动初始条件。系统发生固有模态振动时，各质量点总是呈现同频率的简谐振动，但可能是同相，也可能是反相。4 当初始条件不满足固有(纯)模态振动要求时，系统的自由振动将是固有模态振动的线性组合。5 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵具有加权正交性。,2,无阻尼多自由度系统的谐响应分析与动力吸振原理,简谐激励下，两自由度无阻尼系统强迫振动方程,现讨
2、论其稳态响应，简谐激励下，设稳态响应为：,代入方程得：,求逆，得稳态响应的振幅：,振现象与动力吸振器,3,其中,若仅在m1上作用有激振力 F1sint， F20,当外激励频率,时,b1等于零，即质点m1此时不振动，仅质点m2振动。,工程上广泛应用的动力吸振器就是根据振发生原理，在原来(主)振动系统上设计一个附加的系统(附加系统)来抑制原系统的振动。,振现象与动力吸振器,得各自由度振幅：,4,振现象与动力吸振器,动力吸振现象,一个单自由度振动系统(m1，k1)，受简谐激励 F1sinpt的作用，系统固有频率为:,若外激励频率为,则系统将发生共振，振幅会不断增大。,在此系统上再附加一个由质量m2弹
3、簧系数k2组成的子系统，则只要使子系统的设计参数满足：,那么当激励频率为,质量m1的振动幅值b1=0。这种现象称为动力吸振，附加的质量弹簧系统(m2，k2)称为动力吸振器。,5,振现象与动力吸振器,无阻尼动力吸振器原理分析,带有附加子系统后，振动方程为：,设稳态响应为：,主系统的振幅为：,这里,附加系统振幅为：,因此，只要使,就可使主系统振幅,6,振现象与动力吸振器,当主系统上附加动力吸振器后消除了主系统的振动，但动力吸振器(附加子系统)本身的振幅不为零。,此时,吸振器弹簧k2对主系统施加的作用力,该力与主系统受到的外激励平衡，从而消除了主系统的振动。,好象外激励反相直接作用到m2上一样,7,
4、振现象与动力吸振器,动力吸振器的多种具体形式,为了在较宽的工作频率范围内减小主系统的振动，可以设计有阻尼动力吸振器。,世界第一座动力吸振器外露于整体设计的大楼，重达660吨，在85、86、与88楼可以看到这个带有装饰且外型像大圆球的阻尼器，其直径5.5米。,9,振现象与动力吸振器,上海环球金融中心90层装有两台,“定风珠”,10,无阻尼多自由度系统的一般强迫振动分析,多自由度无阻尼系统的受迫振动微分方程一般形式为,时域响应分析讨论线性系统的强迫响应的稳态部分，,引入模态坐标变换：,多自由度线性系统的振动,11,现在考虑第j个自由度受单位脉冲后，第r阶模态坐标响应：,则系统的物理坐标响应为：,以
5、上得到的实际是单位脉冲响应矩阵的第j列，如果逐次在每个自由度上施加单位脉冲，则可以得到N列单位脉冲响应，将它们写成矩阵的形式，则可以得到多自由度系统的单位脉冲响应矩阵，即,有了单位脉冲矩阵，零初始条件下系统受任意激励后的响应为：,多自由度线性系统的振动,12,多自由度线性系统的振动,对于线性无阻尼系统自由振动 已经证明刚度阵和质量阵可以通过利用固有振型的正交性来实现对角化，即进行解耦,对于线性无阻尼系统强迫振动 它与自由振动的区别在于多了一个激励力项，模态坐标变换后，激励力向量前乘一个模态矩阵的转置仍然是一个列向量，得到对应的模态外激力向量，不影响方程的解耦。,对于线性阻尼系统的自由振动和强迫
6、振动 问题的关键在于阻尼阵是否可以解耦，如果可以解耦，则可以应用模态迭加法进行求解。,13,多自由度线性系统的振动,比例阻尼系统的实模态分析方法,对于比例阻尼(经典阻尼)系统，,有阻尼系统自由振动微分方程为,按照同样的方法，进行模态坐标变换,参照单自由度系统自由振动响应求解方法，可以得到,则原方程解耦为,则,其中模态阻尼率,得：,14,多自由度线性系统的振动,比例阻尼系统受迫振动响应模态迭加法,受迫振动微分方程为：,代入振动方程并前乘AT，使坐标解耦，得到,称为(广义)模态激励,引入模态坐标变换,这里仍假定系统为比例阻尼系统，即,则有,其中：,最后，由坐标变换式求得系统响应x=Ay,15,多自
7、由度线性系统的振动,响应求解：对于解耦后得到各模态坐标的微分方程，响应由两部分组成：,对于有阻尼系统，其自由振动响应部分很快衰减，故通常只考虑其稳态响应部分。 上述通过模态坐标变换，求出解耦后各个模态坐标的响应(自由响应或强迫响应)然后根据坐标变换关系(线性迭加式)求得原来物理坐标下响应的方法，叫做模态迭加法.,则，系统总响应：,16,选取物理坐标系，确定系统的自由度数；建立系统的振动微分方程；求解系统无阻尼固有频率和相应的固有模态(归一化)，构建模态矩阵 A；引入模态坐标，进行模态坐标变换，使振动方程解耦；计算模态质量、模态阻尼、模态刚度以及模态阻尼率；计算对应于各模态坐标的初始条件和模态激
8、励；独立计算模态坐标的响应；由坐标变换得到系统物理坐标的响应。,多自由度线性系统的振动,模态迭加法计算多自由度系统振动响应的一般步骤,17,多自由度线性系统的振动,例5.3.6：如图所示系统，设m=1kg，c=6 N/(m/s)，k=100 N/m，在左边质量上作用有 f1=(t)。求系统零初始条件下的响应(固有振型按模态质量为1归一化)。解：,p1=10 (rad/s) p2=30 (rad/s),系统固有振型矩阵：,求系统无阻尼固有频率和相应的固有振型,引入模态变换：,物理坐标运动微分方程,18,多自由度线性系统的振动,模态阻尼率,应用坐标变换，得系统物理坐标响应,有阻尼固有频率,模态坐标
9、的响应,模态坐标运动方程,19,无阻尼多自由度系统频率响应分析,考虑系统受正弦激励的情况只讨论特解部分，即稳态响应,取特解,代入方程后可求得,动刚度矩阵：,动柔度矩阵：,从而有,也就是系统的位移频响函数矩阵,多自由度线性系统的振动,20,频响函数矩阵的振型展开式：,由上式得：,上式两端求逆，得到频响函数矩阵的振型展开,以上表达式直观地揭示了系统的频率特性与模态参数之间的关系：在第j个自由度上施加简谐激励时，系统在第i个自由度上的响应由N个与固有振型分量 成正比的基本振型分量叠加而成。这些基本振型分量的大小与 即激励处的固有振型分量有关。如果 ，即激励点刚好位于第r阶振型的节点上，则响应中没有该
10、激励诱发的第r阶基本振动成分。若 ，则当激励频率等于第r阶固有频率时， 将趋于无穷大，即系统共振。,多自由度线性系统的振动,21,有阻尼多自由度系统的频响函数,根据模态(固有振型)迭加法，经典阻尼多自由度系统，,如果令,可得,按振型展开来看：,多自由度系统的频响函数,振动系统固有频率近似计算方法,一、瑞利法,对于无阻尼线性系统，振动方程为：,上式两边同乘以XiT,于是可得：,式中,i= 1,2, , n,仿照上式，对第i阶振型取近似振型 ，称比值,瑞利法是利用假设振型来估计系统振动频率的方法，主要估计系统的第一阶固有频率(基频)。,为离散系统的瑞利商,i= 1,2, , n,振动系统固有频率近
11、似计算方法,振动系统固有频率近似计算方法,对于离散振动系统，第i阶简谐主振动,相应的弹性势能最大值为：,相应的动能参考最大值为：,称为系统的第i阶模态动能,于是瑞利商为系统的第i阶模态势能与第i阶模态动能之比。,称为系统的第i阶模态势能,如果给出系统的第i阶振型Xi够精确，利用瑞利商就可以精确计算系统的第i阶固有频率pi2。瑞利商只是第i阶特征值的近似值。,振动系统固有频率近似计算方法,假设系统的所有振型Xr已经按模态质量为1归一化，任取一N维矢量X，根据展开定律,如果10，则可得：,式中,i= 1,2, , n,由于12 N，分子的每一项都大于或等于分母的对应项，因此可知：,其中：,代入瑞利
12、商表达式：,振动系统固有频率近似计算方法,同理，如果N0，可得：,同样由于12 N，分子的每一项都小于或等于分母的对应项，因此可知：,瑞利商是基频的上限，但不会超过最高阶频率。由于系统的第一阶振型易于估计，通常用瑞利商近似计算振动系统的第一阶固有频率（基频）。,可以证明，瑞利商在系统的各阶固有频率处取驻值。,如果已知系统的柔度矩阵R，则可以得到另外一种形式的瑞利商表达式：,由振动特征方程：,证明 由系统振动方程的特征方程式有：,振动系统固有频率近似计算方法,对任一N维矢量X，其瑞利商：,于是得到特征值的另一种表达形式,已经证明，对任意的矢量X，有,即用柔度阵的瑞利商式得到的基频估计值更接近精确
13、值。,等式两边同乘柔度矩阵R,两边同时前乘XiTm，可得,例图示三自由度系统，用两种瑞利商求系统基频的估计值,振动系统固有频率近似计算方法,解：系统的质量阵和刚度阵、柔度阵分别为,取系统各质量上同时作用单位力时的静变形作为假设振型,代入瑞利商式得到,系统基频精确值为,显然存在,求得,振动系统固有频率近似计算方法,二、Ritz法,瑞利(Rayleigh)法把振动系统的运动限制为按一个假设的近似固有振型振动,所求频率的精度取决于近似振型的精度,对其固有振型没有得到什么信息.,Ritz法的约束条件更宽松,用几个接近于最低阶(或少数几阶)固有振型作为Ritz基底求解.,取几个近似固有振型向量 (n=1
14、,2,kN)作为Ritz基底,则系统的固有振型可以表示为这些线性独立向量的组合为:,将上式代入多自由度系统的方程，类似进行模态坐标变换,则可以得到降维子空间中的运动微分方程组.,振动系统固有频率近似计算方法,相应的广义特征值问题成为:,这样特征值问题的阶次从N缩聚为k,计算量可以大大降低. 上式可以解出k个特征值n和特征向量,根据变换关系有,由此给出的系统的k个近似固有振型其近似程度要比原选定的Ritz基要好.得到的前若干个低阶固有频率和固有振型有较高的精度.,例图示三自由度系统，用Ritz法计算其前两阶固有频率和振型,振动系统固有频率近似计算方法,解：系统的质量阵和刚度阵分别为,以静变形作为
15、第一阶固有振型的近似,取,系统的第二阶固有振型应有一个节点,不妨试凑振型为:,因此缩聚变换矩阵为:,代入Ritz法的缩聚方程,得到缩聚的广义特征值问题,振动系统固有频率近似计算方法,解出得到:,回代变换矩阵 ,得到近似固有振型,本例精确的固有频率和振型分别为,对比可知,Ritz法得到了很精确的基频,第二阶固有频率也仅相差4%.,Ritz法能一次获得多阶固有特性参数,且所得固有频率的精度高,低阶固有模态的结果优于高阶固有模态的结果.,振动系统固有频率近似计算方法,求多自由度系统振动响应的数值计算方法,直接积分法：线性加速度法，Wilson法， Newmark 法, Runge-Kutta 法,差分法：中心差分法,中心差分法,k1=4, k2=k3=2, m1=2, m2=1f2=10, 初始状态静止,用中心差分法求解二自由度系统振动方程时间步长: t0.28,系统振动方程为：,多自由度响应的数值计算方法,由初始条件,计算初始时系统加速度,加速度差分公式：,速度差分公式：,起始迭代时需要知道0-t x,根据Taylor展开,多自由度响应的数值计算方法,代入原方程可求得：,由t时刻动力平衡方程,可得：,得：,多自由度响应的数值计算方法,因此，中心差分格式是条件稳定的。,中心差分格式使用中，一个重要的问题是步长必须小于临界步长,
