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1、狭义相对论第二讲,2,正变换,静系S到动系S的变换,逆变换,伽利略变换是洛仑兹变换低速下的极限情形,3,【例 】水平隧道AB长L0，一列火车AB静长 L = 2L0。今使火车如图所示，以匀速v驰入隧道，地面系中观察到A与A相遇时恰好B与B相遇。试根据洛仑兹变换计算v值，并在列车系中计算从A与A相遇到B与B相遇之间的时间间隔t。,【解】地面参考系S，火车参考系S, 以A与B相遇的时刻为t = t = 0时刻，以A与B相遇的位置为S与S的原点。,洛仑兹变换,车头：,车尾：,在 A与 A相遇的时刻 t，,4,上述两事件代入洛仑兹变换（1）式,S系观察者测量A与A相遇的时刻tA 对应,S系观察者测量B
2、与B相遇的时刻tB 对应,S系中从A与A相遇到B与B相遇之间的时间间隔,5,三. 相对论运动学,伽利略变换下的速度变换公式，在相对论中不再成立。,将洛伦兹变换公式两边取微分,在参考系S中，速度定义为,1. 速度变换,6,相对论速度变换,相对论速度逆变换,7,若物体相对一个参考系的运动速度小于c，即则相对于任意参考系，它的速度都小于c。,在任何参考系中光速不变,速度空间的几何学,8,9,取q=p/2, 则：,由对称性， 又有：,双曲几何！,10,飞船乙,【例】 两艘飞船以相同速率0.5c 反向而行。求两者的相对速率。,S系：地面,S系：飞船甲,【例】匀速运动介质中的光速（在固定系观察）,斐索水流
3、实验验证,沿介质运动方向：,逆介质运动方向：,【解】以地面为S系， 水为S系,【例】不同参考系中光线角度的变化：,光行差,恒星的表观位置（方向）以年为周期发生变化地球运动方向背离观测方向时，方向变高（仰起） 地球运动方向迎向观测方向时，方向变低（俯下）,光行差现象,【例】 三个惯性系之间的变换,速度不可简单相加,15,4. 加速度变换,在参考系S中，加速度定义为,相对论加速度变换,16,相对论加速度逆变换,17,相对论中，只有加速度为零时才是惯性系不变的,加速度变换的三个特征：,因此，经典力学中牛顿第二定律需要修正。,18,二、相对论动力学,1. 概述,根据狭义相对性原理，物理定律应在洛伦兹变
4、换下具有不变性,麦克斯韦方程组具有洛伦兹变换不变性,在高速情况下，动量守恒、能量守恒以及质量守恒仍然成立,在不同的惯性系中，同一个质点的加速度不再是不变量。经典力学的基本定律牛顿第二定律需要修正,19,2. 动质量公式,设在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性系的选择有关。,理想实验：全同粒子的完全非弹性碰撞,固接于粒子A的S系,固接于粒子B的S系,在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。,固定于粒子A的 S系,质量守恒：,动量守恒：,解得：,质量守恒：,动量守恒：,固定于粒子B的S系,代入洛仑兹速度变换：,得质速关系：,满足对应原理的要求：,22,物体的质量m与其静止质量m0和速度v的关
5、系,23,3. 牛顿三定律的修正,在洛仑兹变换下，加速度不等于零时不再是不变量，质量依赖于速度，力必然也不再是惯性系不变的。,在狭义相对论中，牛顿第一定律仍然成立，牛顿第二定律需要修正，牛顿第三定律也不再成立。,重新定义质点的动量,重新定义力,相对论力学的基本定律为,24,相对论力学的基本定律,质点动量定理,质点动能定理,【例】 观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动，甲携带长 L，截面积 S，质量为 m 的棒，棒沿运动方向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。,【解】棒相对于甲静止，甲测定的密度为：,棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m ，长度为 L，截面积为 S，有：,乙测定的密度为：
6、,26,4. 质能关系,将质速关系按幂级数展开，得,两边同乘以c2得,总能量,静能量,相对论动能,质能关系,27,当 v c 时，,相对论动能公式,28,5.能量与质量,一定的质量m对应一定的能量mc2一定的能量E对应一定的质量E/c2,质量守恒定律,能量守恒定律,质能守恒定律,物体的质量和能量是紧密联系在一起的,力学中两个独立的守恒定律在狭义相对论中统一为质能守恒定律,29,质量亏损：各种原子核的质量都小于组成该核的相同数目的核子质子和中子）的质量。,早在20世纪20年代，人们用质谱仪测定了各种核同位素的质量。,30,重核裂变,1kg的235U核裂变，释放能量81013J，相当于燃烧2700
7、0吨优质煤,31,轻核聚变,聚变反应是恒星发射巨大能量的来源,SOHOs Extreme ultraviolet Imaging Telescope.,32,6. 能量动量关系,在狭义相对论中动量的定义仍为,能量,对于静止质量为零的粒子,静止质量为零的粒子永远以光速 c 运动,满足对应原理,讨论：,当 时,小结,相对论动力学的三个主要关系,能量与动量的关系：,质能关系：,质速关系：,【例】在S参照系中有两个静止质量均为m0的粒子A、B 。分别以相同的速度v 相向运动，相撞后合在一起成为一个静止质量为M 0的粒子。求M0,【解】设合成粒子质量M、速度v 据动量守恒,据能量守恒：,【例】一个静质量
8、为m0的粒子，以v=0.8c的速率运动，并与静质量为3 m0的静止粒子发生对心碰撞以后粘在一起，求合成粒子的静止质量。,代入(2) 式得,【解】设合成粒子的运动质量为M，速率为u，由动量守恒和能量守恒：,由于,再代入(1) 式得,又由,【例】两个静质量相同的粒子，一个处于静止状态，另一个的总能量为其静能的4倍，当此两粒子发生碰撞粘合在一起，成为一个复合粒子，试求复合粒子的静质量和碰前单个粒子的质量比。,【解】对于单个粒子， 由,对于复合粒子， 由,【例】一个以0.8c的速度沿X轴方向运动的粒子衰变成两个静止质量同为m0的粒子，其中一个粒子以0.6c的速度沿-Y方向运动， 若衰变前粒子的静止质量
9、为M0， 求：（1）另一个粒子运动速度和方向；（2）比值m0/M0,【解】原粒子动质量为：,衰变后沿-y方向运动粒子的动质量为：,衰变后另一粒子的动质量为：,由质量守恒， 有,x,y方向的动量守恒,（1）两式平方后求和， 得：,（2）两式相除后， 得：,【例】在海拔100km的地球大气层中产生了一个静能为140MeV的p+介子， 这个p+介子的总能量为E=1.5 105MeV，竖直向下运动，按它自己参考系测定，它在产生后2 10-8s衰变，问它在海平面以上多大的高度发生衰变？,【解】,在p+参考系中经历Dt= 2 10-8s, 在地球参考系中经历时间为Dt,【例】设有一个处于激发态的原子以速度
10、v运动， 当其发射一个能量为E的光子后返回至基态。并使原子处于静止状态，此时原子的静质量为m0,已知激发态比基态能量高E0,求E.,【解】设处于激发态的原子的静质量为m0,动量守恒,由能量守恒,解得：,48,【例】 静质量为m0的质点静止于x = 0点，t = 0开始在一个沿x轴方向的恒力F作用下运动。试求：（1）质点速度u和加速度a随位置x的变化关系；（2）质点速度u和加速度a及位置x随时间t的变化关系。,质点动能定理,引入常量,两边对时间求导,49,质点动量定理,两边对时间求导,在加速过程中，质点质量越来越大，趋于无穷，加速度便趋于零,如果,50,【例】 质点A、B静质量同为m0，今使B在
11、惯性系S中静止，A则以3c/5的速度对准B运动。若A、B碰撞过程中无能量释放，且碰后粘连在一起，试求碰后相对S系的运动速度v及系统动能减少量。,碰前A的质量,无能量损失，质量守恒，碰后质量为,碰撞过程动量守恒,51,系统动能减少量等于系统静能增加量,碰后粘连体的静质量,52,【例】 太空火箭（包括燃料）的初始质量为M0，从静止起飞，向后喷出的气体相对火箭的速度u为常量，任意时刻火箭相对地球速度为v时火箭的瞬时静止质量记为m0。忽略地球引力影响，试求比值m0/M0与速度v之间的关系。,火箭的质量为m时，速度为v,向后喷出的气体相对地球的速度,系统m分为m + dm和 dm（隐含了能量守恒）,解法
12、一：采用运动质量,53,动量守恒,略去二阶小量,54,火箭的质量为m时，速度为v,向后喷出的气体相对地球的速度,系统m0分为m0 + d m0和 dm0（静止能量转化为动能）,【解法二】采用静止质量,能量守恒,动量守恒,（1）,（2）,（1）式代入（2）式，略去二阶、三阶小量,55,【解法三】采用相对火箭静止的参考系,在相对火箭静止的参考系中,在地面参考系中,代入动量守恒方程,动量守恒,X 射线是由一些能量为 =h 的光子组成，并且这些光子与自由电子发生完全弹性碰撞，,康普顿效应,在轻原子中，原子核对电子的束缚较弱，可以把电子看作是静止的自由电子。,碰撞前：光子能量为ho，动量为ho/c；电子
13、的能量为moc2，动量为零。,碰撞后：光子散射角为，光子能量为h，动量为h/c；电子飞出的方向与入射光子的夹角为，它的能量为 ，动量为 。,碰撞过程能量守恒,动量守恒,联立以上三式，可以解得：,其中：,为康普顿波长,散射波长改变量：,康普顿效应中，发生波长改变的原因是：当一个光子与散射物质中的一个自由电子碰撞后，光子将沿某一方向散射，同时电子获得一部分能量，使散射的光子能量减小，频率减小，波长变长。,.散射波长改变量 的数量级为 10-12m，对于可见光波长 10-7m，所以观察不到康普顿效应。,.散射光中有与入射光相同的波长的射线，是由于光子与原子碰撞，原子质量很大，光子碰撞后，能量不变，散
14、射光频率不变。,.在重原子中，内层电子比轻原子多，而内层电子束缚很紧，所以原子量大的物质，康普顿效应比原子量小的弱。,.当 =0 时，光子频率保持不变； = 时，光子频率减小最多。,康普顿散射进一步证实了光子理论的正确性，还证明了在微观领域中也是严格遵守能量、动量守恒定律。,【例】2010年北京正负电子对撞机升级改造完满成功，可以产生正电子和负电子用于对撞实验。 升级后在实验室正中电子能量最高可达到2.5GeV。每束包含1010个粒子，并且可看成在实验室中半径为1mm，长度为2mm的均匀圆柱。（1）对于同粒子束一起运动的观察者，它的长度和半径为多少？（2）对于实验室观察者及随粒子一起运动的观察
15、者，两束粒子相互穿过，各需多长时间？（3）在实验室中测量两束粒子重叠时的半径r与磁场强度B的关系， 若半径为1mm时，B为多大？（4）估算在实验室中束流表面电子在相互穿过时偏转的角度。（5）对撞能量是多少？如果改为打固定靶，达到与对撞相同的能量， 电子需加速到多高的能量？,【解】（1）用S系和S系分别代表实验室系和电子系。电子在S系中的g因子为：,相对S系来说， 电子束长度被压缩为：,S系束流原长为：,在垂直方向没有压缩， 故束流半径不变！,对迎面而来的正电子系， 在S系中的速度为-b,正电子相对于电子参考系S的速度为,正电子束相对于电子参考系S的长度为,（2）对实验室S系的观察者，每个粒子的
16、速度为,两束粒子相互穿过的时间为：,对同粒子一起运动的观察着，迎面来的粒子速度为,（3）设电子束长度、半径、粒子数和电荷分别为l, r0, N,r,根据安培环路定理,r=r0=1mm时,（4）两粒子相互穿过时， 由洛伦茨力和穿过时间可以得到冲量，引起横向动量改变,相互穿过偏转的角度为,（5）两相同质量粒子碰撞，由于,对实验室系,对于不动的靶， 粒子的能量为m0c2, 动量为零，另一个粒子的能量为E，动量为p， 系统的总能量为：,总动量为p,由粒子的能量动量关系,两式消去p，得：,粒子的动能为：,四维动量守恒,按洛仑茨变换,不变的模方为,对于一个核反应过程,动量和能量守恒为：,两边可以是不同的惯性系！,
