《高中数学题库高一部分-B函数-函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学题库高一部分-B函数-函数的性质（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定义在 R 上的函数 同时满足条件： 对定义域内任意实数 ，都有()fx ,ab； 时， .那么，()(fabf0()1fx（1）试举出满足上述条件的一个具体函数；（2）求 的值；(0)f（3）比较 和 的大小并说明理由.(3)f答案：（1） ；()2()1)xxffa（2）令 ， ，则 ，而 ， ；0ab(0)ff()0fa()1f（3） ， ， 4 分()f323来源：09 年浙江杭州市月考二题型：解答题，难度：中档已知：f(x) 是定义在 R上的奇函数，对于常数ab0，f(x)在区间a，b 上是减函数，且f(b) 0，试确定函数 y=f(x)2在区间b，a上的单调性，并证明你的结论答案：
2、证明：任取x 1、x 2b，a，且x 2x 1，则x 1、x 2a，b，且x 2x 1 f(x)在a，b上是减函数， f(x 2)f(x 1)又f(x)是奇函数，f(x 2)=f(x 2)f(x 1)=f(x 1)，即f(x 2)f(x 1)f(x 2)f(x 1) f(b)0，且f(x)在a，b上是减函数，f(x)在a，b 上为正值由f(x)是奇函数，f(x)在b，a上为负值，f(x 1)0，f(x 2)0，而f(x 2)f(x 1)，f(x 2)f(x 1)，f(x 2) 2 f(x 1) 2 即f 2(x2)f 2(x1)y=f 2(x)在b，a上是单调增函数来源：1题型：证明题，难度：
3、较难已知函数 和 的图象关于原点对称，且 .()fxg 21()fxa(1)求函数 的解析式；(2)解关于 x 的不等式 ；()0gx(3)若 在 （1， ）时恒成立，求 a 的取值范围 .2()0tgt答案：(1) 设 图象上任意一点为 P（x，y） ，它关于原点的对称点为 P （ x， y）()gx易知 P （ x， y）在函数 的图象上21()fa ，即：21ax ()gx(2) 由 得 ，即：()0gx21a20ax等价于 aA当 a 0 时，化为 (2)0x2xa当 a 0 时，不等式 的解集为 ()0gx|02xa当 a 0 时, ,即 ，)(xff )(21xff 是 上的减函数
4、； 1)(2xaf,(2)当 a0 时，00, 则有 )(0)()nffn又由已知， n0时，00 )()()(xf则 又- x0 0 ,即 a 时，g(x) min=g( )=a-13如果 a-1 ,即 a 时，g (x)在(-，a-1)上为减函数，213g(x) min=g(a-1)=(a-1)2当 a 时，( a-1)2-(a- )=(a- )20345当 a0131综合得：当 aa,xR,且 A ，求实数 a 的取值范围.答案：解： f(x+2)=- f(x), xR， f(x)= f(x2).（2 分）当 x1，3时， x21,1, f(x)= f(x2)= ( x2) 3=(2 x
5、)3.（4分）又 f(x)= f(x+2)=f(x+4), f(x)是以 4 为周期的函数.（6 分）当 x3，5时， x41,1, f(x)=f(x4)= ( x4) 3. （7 分）（8 分）5,3)4(12)3f（2）当 ,1,)2(),3yxfyx时当 x3,5时，y= f(x)=(x4) 3, y1,1, f(x)在1，5上的值域为1,1.（10 分）又 f(x)是以 4 为周期的函数，当 xR 时， f(x) 1,1（12 分）当 aa，故 a 的取值范围为 a0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x+a)= ，求证：f(x) 为周期函2)(21xf数。答案：证明：由题设 f(x
6、+2a)=f(x+a)+1= +f(x+a)-f(x+a) = + 2121= + 22 )(1)(21xfxf 1 21)(4xf.)(f因为 f(x)= + ，所以 f(x+2a)=f(x). 因为 a0，所以 f(x)是21)()(2axff1周期为 2a 周期函数。来源：08 年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档已知 f（x）=x 2-2tx+1，其定义域为x|0x1 或 7x8（1）f（x）在定义域内是否一定有反函数？（2）当 f（x）在定义域内有反函数时，求 t 的范围。答案：解：（1）取 t= 有 f（0）=f（1）=1 f （x）在定义域内不一定有反函数（42分）（2）f（
7、x）在 xR 时 其对称轴为 x=t当 t0 时，f（x）在其定义域内为增函数 此时 f（x）有反函数（6 分）同理为 t8 时，f（x）在其定义域内也有反函数（8 分）当 1t4 时，f（x）的图象在 x0,1的一段此在 x7,8的一段更靠近对称轴，那么要使 f（x）有反函数，应有 f（0）f（7）则此时 1t （10 分）27当 4t7 时，同理有 f（8）f（1） ，此时 t7q由以上知，f（x）在其定义域内有反函数的范围为： t0 或1t 或 t7 或 t8 （12 分）2q来源：题型：解答题，难度：中档对于定义的区间 D 上的函数 f（x） ，若实数 x0D，满足 f（x 0）=x
8、0 则称 x0 为函数f（x）在 D 上的一个不动点。（1）求函数 f（x）=2x+ -2 在（0，+）上的不动点。1（2）若函数 f（x）=2x+ +a 在（0，+）上没有不动点，求 a 的取值范围x（3）设 f（x）的不动点数目是有限多个，且 f（x）定义域为 R，下述命题是否正确？若正确请给予证明；若不正确，请举例说明若 f（x）是奇函数，则 f（x）的不动点数目是奇数。若 f（x）是偶函数，则 f（x）的不动点数目是偶数。答案：解：（1）设 x0 是 f（x）在（ 0，+ ）上的不动点，则 f（x 0）=x 0 即 2x0+ -2=x01x解得 x0=1（2 分）（2）f（x）在（0，
9、+）上没有不动点，亦即 2x+ +a=x 在 x（0，+）上无解。1即 x+ =-a 在 x（0，+）上无解 又当 x（0，+）时，1x+ 2 只要-a 2 即 a-2（4 分）（3）正确 f（x）为奇函数 且 xR f（0）=0 0 是 f（x）的一个动点，假设 x00 是 f（x）的一个不动点，则有 f（x 0） =x0又 f（x 0）=-f （-x 0） f（-x 0）=-x 0 -x 0 也是一个不动点显然 x0-x 0 这表明 f（x）的解。不动点如果存在，则必成对，又根据题设 f（x）只有有限个不动点，因此 f（x）的不动点数目为奇数（ 6 分）（4）不正确 例如函数 f（ x）=
10、1 若 x0 为不动点 则 f（x 0）=x 0又f（x 0）=1 x=1 f（x）=1 只有一个不动点（2 分）来源：题型：解答题，难度：较难下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1) ；（2）g(x)=|2x+1|-|2x -1| ; (3) (x)=1；（4）y=22.x答案：（2） （3）为奇函数。首先（1） ， （4）定义域不关于原点对称，而（2） ， （3）满足奇函数定义。来源：08 年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档设 m14 是一个整数，函数 f：N N 定义如下：f(n)= ,2)13(4mnf求出所有的 m,使得 f(1995)=1995.答案：证明：当 m2m
11、2 时，f(n)可直接取值，所以若 f(1995)=1995，则必存在 n0m2，使n0-m+14=1995. 即 m2-m+141, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。答案：所求函数不存在。假设 f: NN 是满足题目要求的一个函数，当 n2 时，我们设函数最小值为 f(n0)。因为 f(n0)=f(f(n0-1)+f(f(n0+1)2，故 f(n0-1) f(n 0) 2, f( n0)=f(f(n0-1)+f(f(n0+1) 1+ f(n0+1)，矛盾，故所求 f 存在。来源：08 年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难设 是定义在 上偶函数， 与 图像关于直线 对称
12、，当()fx1,()gxf1x时， （ 为常数）2,332()42gtxt（1）求 表达式；()f（2）当 ，求 在 上取最大值时，对应的 值；,6t()fx0,1x（3）当 时，是否存在 ，使 图像最高点落在直线 上？若存在，求出t()f 12y的值；若不存在，说明理由。t答案：（1） ()fx1,0( 423xt-（2）当 时， 取最大值 。6tx()fx269t（3）当 时， 取最大值 存在 ，使 图像最高点在1f41,t8t()fx直线 上。2y命题意图与思路点拨：以多项式函数为载体研究函数的图象与性质，有利于考查学生对函数概念本质的理解与掌握，也是在知识交汇点上考查学生的能力。解决此
13、类问题必须抓住概念进行思考，同时注重知识的综合应用。来源：1题型：解答题，难度：中档已知 定义在 R 上，对任意 xR, f (x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函数，又当 x2,3)(xfy时，f (x)=x，则当 x-2,0 时，求 f(x)的解析式。答案：当 x-2, -1时， x+42, 3，由题设此时 f(x)=f(x+2)=f(x+4)=x+4.当 x-1, 0时，-x 0, 1，2-x 2, 3，所以 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x.所以当 x-2, 0时，f(x)= .0,1,24也可以写成 f(x)=3-|x+1|, x-2, 0.来源：08 年数学竞赛专题三题
14、型：解答题，难度：中档函数 是定义域为 的奇函数，且对任意的 ，都有 成()yfxRxR(4)(fxf立，当 时， .2,021fx（1）当 时，求函数 的解析式;Z)(k 4 ,kx ()fx（2）求不等式 的解集.()f答案：（1）当 时， （1 分）0x()0,()fff当 时， （2 分）,22,2xxx由 ，知 又是周期为 4 的函数，所以(4)(fxf()yf当 时,k（4 分）2()20()()1xfxkx当 时4,k（6 分）2()()4)()xfxkx故当 时，函数 的解析式为Z 2 ,kf（7 分） )( 24,( 1)4( 0),2 Zkxkxf（2）当 时，由 ，得,()f或 或102x12x0x解上述两个不等式组得 （10 分）故 的
