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1、集合 Axx 2axa 2190 ，B xx 25 x 60 ，C xx 22 x80 （1）若 ABAB，求 a 的值；（2）若 AB ，AC ，求 a 的值答案：由已知，得 B2，3 ，C2，4.(1) ABAB， AB 于是 2，3 是一元二次方程 x2axa 2190 的两个根，由韦达定理知：解之得 a5. 19a(2)由 AB ，又 AC ，得 3A，2 A，4 A，由3A，得 323aa 2190，解得 a5 或 a=2当 a=5 时，Axx 25x 602，3 ，与 2 A 矛盾；当 a=2 时，Axx 22x 1503，5 ，符合题意 . 来源：09 年湖北宜昌月考一题型：解答
2、题，难度：中档设A=-4，2a-1，a 2 ，B=a-5，1-a，9若AB=9，求a的值答案：解：AB=9，A=-4，2a-1，a 2 ，2a-1=9或a 2=9解得a 1=5，a 2=3，a 3=-3当a=5时，A=-4，9，25，B=0，-4，9这时，AB=-4，9与已知AB=9矛盾，把a=5舍去当a=3时，A=-4，5，9，B=-2，-2，9由集合中元素的互异性，应把a=3舍去当a=-3时，A=-4，-7，9，B=-8，4，9AB=9符合要求a=-3 来源：题型：证明题，难度：中档已知：集合 A=x| 0， B=x|x23x+2 （ uA）B=x| g(n)。引理：当 m 为奇数时，从m
3、, m+1, m+2, m+3, m+4中任意取出 4 个元素，必有 3 个两两互质。只需分 m=6k+1, 6k+3, 6k+5 三类讨论即可。下面证明，当 f(n)=g(n)+1 时，题设条件成立。用反证法，若不然，对于给定的 S，因为 m, m+1 中必有 1 个奇数，从这个奇数开始，连续 6 个整数为一组，设 n=6k+r, 1r 6.（1）若 r=1,2,3,则由引理可知，每组至多取出 4 个数，一共至多取出 4k+r55-x-y-z，无解。（4）C 由四个元素 x55.这时 yzt=54-y-z-t,2y0, 则 0b-ab1。由于 a+b=c(a1+b1), ab=c2a1b1，
4、因此（a 1+b1）|ca 1b1。又由于（a 1+b1, a1）=1, （a 1+b1, b1） =1, 因此 a1+b1|c。 而 a+b 99，即 c（a 1+b1）99，所以3a 1+b19。由此可知，S 中满足(a+b )|ab 的不同数对（ a, b）共有 23 对：当 a1+b1=3 时，有（6，3） ， （12，6） ， （18，9） ， （24，12） ， （30，15） ， （36，18） ， （42，21） ， （48，24） ；当 a1+b1=4 时，有（12，4） ， （24，8） ， （36，12） ， （48， 16） ，当 a1+b1=5 时，有（20，5） ，
5、（40，10） ， （15，10） ， （30，20） ， （45，30） ；当 a1+b1=6 时，有（30，6） ；当 a1+b1=7 时，有（42，7） ， （35，14） ， （28，21） ；当 a1+b1=8 时，有（ 40，24） ；当 a1+b1=9 时，有（45，36） 。令 M=6，12， 15，18，20，21，24，35，40，42，45，48，则上述 23 个数对中的每一个数都至少包含 M 中的 1 个元素。令 T=S-M。则 T 中任何两数都不能成为满足要求的数对（a,b） 。因为|T|=38，所以所求最小自然数 k39.另一方面，下列 12 个满足题中要求的数对互
6、不相交：（6，3） ， （12，4） ， （20，5） ，（42，7） ， （24，8） ， （18，9） ， （40，10） ， （35，14） ， （30，15） ， （48，16） ， （28，21） ，（45，36） ，对于 S 中任一 39 元子集 R，它只比 S 少 11 个元素，而这 11 个元素至多属于上述 12 个数对中的 11 个，因此必有 12 对中的 1 对属于 R。故所求的最小自然数 k=39.来源：08 年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难设 是 20 个两两不同的整数，且整合 中有 201 个201,a 201jiaji不同的元素，求集合 中不同元素个数的最小
7、可能值。201jiji答案：所给集合的元素个数的最小值为 100。首先，令 ai=1011+10i, a10+i=1011-10i(i=1,2,，10)，则a i+aj|ij20中共有（20+19+1）-10+1=201 个不同的元素，而 ai-aj|1i j 20=210 ii=1，2，10|10i 10j|1ic 的数对（b,c） （共 190 对） ，考虑它们的差 b-c，由于至多有 99 个不同的差（这里用反证法假设） ，故必须至少 91 个数对（b, c） ，使得存在 b, c S，满足 b- .综上13所述， ，所以 a=-1.1由得 3b-3，即 b-1，由得 3b-4，即 b- ,所以- b-1，所以 b=-1，所以34a=b=-1.来源：08 年数学竞赛专题二题型：填空题，难度：较难集合 ，且 A=B，则0,22yxBxyxA_。yx答案：因为 A=B 且 ，所以 。又 ，所以 ，所以 。所02yx0xy0xy2以 。1,y来源：08 年数学竞赛专题一题型：填空题，难度：中档
