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1、菲根鲍姆常数的发现1、优秀而没有成果的学生在混沌理论的发展中，除了沙可夫斯基序和李天岩-约克的“乱七八糟”之外，菲根鲍姆常数是又一项惊人的发现。菲根鲍姆（MFeigenbaum ）是美国康奈尔大学的物理学家，现年四十四岁，他是当今世界物理学界的佼佼者。在许多文字和许多演说中，菲根鲍姆都被人赞扬为青年学者的楷模。 （纽约时报）星期周刊绘声绘色为他写了长篇报道。美国驻中国大使馆散发的中文杂志（交流）曾以他的巨幅照片作为彩色的封面。在青年学生心目中，说菲根鲍姆是一颗耀眼的新星，是恰如其分的。种种声名显赫的桂冠，连同丰厚的奖金，降落在他的头上。有志于科学的青少年，谁不羡慕菲根鲍姆的成就呢！其实，菲根鲍
2、姆的历程，并不是一帆风顺的。相反，在他学术生涯的头十年里，真是充满了挫折和不幸。比起所有其他科学家来，菲根鲍姆在学术黄金时代的经历是最坎坷不平的。命运之神并没有特别厚待他，反而曾经很不公平地粗暴地打击过他最早的重要发现和发明。菲根鲍姆一九四四年十二月九日出生在美国费城。他父亲是当地海军船厂的药剂师，为太平洋船队服务。二次大战以后，他们一家迁回纽约的布鲁克林，父亲在纽约港务局工作，母亲到一所公立学校教书。在孩童时代，家里的收音机把宇宙的奥秘展现在菲根鲍姆面前。菲根鲍姆像其他孩子一样，对一切都充满好奇。他回忆道：“每天早晨五点半或六点，收音机就响了。我知道是父亲打开了收音机。问题是，什么也没有进入
3、收音机，它为什么能奏出音乐来呢？这是多么奇怪啊，真是非常了不起。我那时候就知道留声机这种东西当然是老式的。在我四、五岁的时候，奶奶就曾破例允许我放送每分钟七十八转的唱片。 ”要读完高中和市立大学并出人头地。从某种程度说，就是要驶过精神世界和“他人世界”的曲折航道。 “小时候最初我非常喜欢交朋友。可是有些人总想欺侮我，有时还拳脚交加。住在下层市民集中居住的布鲁克林，这是司空见惯的事。我总是设法让他们相信，应该做我的朋友。 ”长大了做什么？起初，他挑选专业的标准是力求实用。菲根鲍姆回忆道：“在十岁或十一岁的时候，我在布鲁克林就听说电气工程师是搞收音机的，还知道电气工程师不必担心找不到工作，收入也不
4、少。真是了不起。后来上了大学我才明白，我渴望了解的收音机的知识，只不过是物理学的一小部分。 ”就这样，菲根鲍姆在人生的道路上一脚迈入了物理学的大门。一九六四年在纽约市立大学毕业以后，他进了麻省理工学院研究生院。一九七年，菲根鲍姆在麻省理工学院获得了基本粒子物理学的博士学位。按照美国的教育制度，学生从一所大学毕业取得学士学位以后，多半要（申请）到另一所大学的研究生院攻读硕士或博士学位。麻省理工学院是一所世界水平的高等学府，位于美国东北部所谓新英格兰地区的马萨诸塞州的波士顿市。麻省理工学院又译作马萨诸塞理工学院，和另一所世界闻名的高等学府哈佛大学相距不过一英里。研究生从一所大学取得博士学位以后，必
5、须申请到别的地方工作，这同中国的毕业生分配制度很不相同。研究生毕业前夕，他们通常会自己写信向十几个甚至几十个单位申请位置，然后在同意安排的若干个单位中挑选一个，前往赴任。他们的去向，既有大学、中学、研究机构（包括军队和大公司的研究机构） ，又有工厂、企业和其它部门。如果是去大学或其他研究机构做带研究性质的工作，这个阶段就叫博士后研究阶段。菲根鲍姆首先去了康奈尔大学。在美国的大约二千所大学当中，学术水平之高低悬殊很大。历史上，美国东北部最早开发的地区形成了一个排他性的长青藤大学联盟（Ivy League Schools） ，其特点是私立贵族高等教育学府。这些学校按校名英文字母顺序包括以下八所学校
6、：布朗大学，哥伦比亚大学，康奈尔大学，德母大学，哈佛大学，普林斯顿大学，宾夕法尼亚大学，耶鲁大学。一百多年过去了，美国大学的情况已经有了很大变化。一方面，别的大学赶上来了，例如同在这一地区的麻省理工学院，在大湖地区的芝加哥大学，在西海岸（太平洋沿岸）的斯坦福大学，伯克利加州大学，加州理工学院，等等。另一方面，这些长青藤大学本身也发生了很大变化。例如，过去只收白人学生，现在每年都给黑人学生保留一定的名额；过去只收男生，现在是男女同校。 （有趣的是，有些长青藤大学招收女生是晚至 20 世纪 60 年代才开始的事。例如普林斯顿大学。是一九六九年才开始招收女生的。 ）到了二十世纪八十年代，长青藤大学差
7、不多只剩下一个名字，联盟极其松散，除了体育比赛以外，简直看不出有别的“联盟”的内容。长青藤大学各种主要运动（以球类为主）一年一度都要进行比赛，这种比赛仍然是排他性的，除了把西点军校（传统上也是一所贵族学校）拉进圈子以外，仍不和其他学校来往。由于这些大学根基雄厚，历史上人才辈出，所以尽管别的许多学校也赶了上来，长青藤大学各校在学术上仍然占有较高的地位。人们对长青藤大学，还是有一定的推崇心理。在美国的一些大学中，原则上教授是终身的，但是讲师和助理教授（也有译作襄教授的）都不是终身的，助教的工作则由研究生兼任。如果一个青年学者取得博士学位以后到了一所大学，要是不能迅速晋升到教授或特别申明带终身合约的
8、副教授，顶多六年七年就必须离去。这六、七年之间要从讲师晋升到助理教授，又要从助理教授晋升到副教授，或者再晋升到教授，时间其实是非常有限的。实行这样的制度的后果，一是激烈的竞争，二是频繁的流动。先说流动：在一个地方短期内晋升无望，就要想办法挪窝，决不呆到期满失聘。再说竞争：主要就着科研成果，看科研能力。工科的，看发明，看设计；理科的，看理论，看论文。竞争是激烈的，但惟有在这样的竞争之中，大学才能保持高水平。美国本世纪以来的科学进步，实在得益于这种博士后研究制度。菲根鲍姆是在麻省理工学院这样的名牌大学取得基本粒子物理学博士学位的，康奈尔大学当然欢迎他。其实，他虽然是基本粒子物理学出身的，那时已经迷
9、上了后来叫做混沌理论的一些问题。这些问题过去没有人深入地研究过。没有现成的理论，没有现成的方法，把握更是谈不上。但菲根鲍姆已经被迷上了。剧烈的竞争要求每一个人显示水平。对于搞理论研究的人来说，水平的外部表现，就是发表论文。有些人明白这个道理，他们先去研究一些容易出成果的小问题，不断发表一些一般水平的论文，这样他们就站住脚了。地盘巩固了，再去研究大问题。有些人大小问题一起做，大问题虽然一年两年攻不下，小成果却还是不断，就这样以小养大，以短养长。但是菲根鲍姆似乎不懂这些，他是完全被现在称为混沌理论的那些问题迷住了。也许，这是新理论孕育时期的某种神奇力量驱使他这样做？不得而知。但是，那个阶段他的确没
10、有论文发表。很快，他感到在康奈尔大学呆不下去了。如果说当初去康奈尔大学是凭着麻省理工学院的博士学位的硬招牌，现在要到新的地方去，拿得出什么新的成绩呢？履历表，和两年前差不多。论文目录，则相当可怜。就这样，他到了弗吉尼亚专科学院。麻省理工学院和康奈尔大学都是美国第一流的学校，而弗吉尼亚专科学院不论从哪方面讲都只能算三流的学校。在弗吉尼亚，他仍然没有发表什么论文，所以日子还是不好过。其实，正是在康奈尔大学和在弗吉尼亚专科学院的这段时间里，他进行了一生最有意义的思考。因为他思考的是如此高深莫测的东西，没有人能够指点他，没有现成的方法可以利用，甚至没有人理解他的问题，没有人可以交谈，所以局面真是如坠烟
11、雾，困难重重。这段时间，他的确一无所获，日子过得黯淡极了。一切都是如此松散杂乱，以至他几乎以为自己的一生事业已经就此完蛋。就这样，菲根鲍姆取得博士学位以后，在康奈尔大学和弗吉尼亚专科学院度过了博士后最初四年的“毫无成就”的时光。慧眼识英才的人总还是有的。早在康奈尔大学那会儿，卡拉瑟斯（PCarruthers ）教授就注意到菲根鲍姆。那时的菲根鲍姆当然算不上英才，但卡拉瑟斯发现他是一个很有才华的青年，他的往往显得古怪的问题包含着深邃的思考。正好这时候，卡拉瑟斯要到洛斯阿拉莫斯实验室工作，爱才的教授就以助手的名义把菲根鲍姆带到了洛斯阿拉莫斯。2、在“科学地狱”的门口美国加州大学一共有九个分校，如伯
12、克利校，洛杉矶校，圣迭戈校。其实各“分校之间在行政上是完全独立的，不比长青藤联盟诸校的松散关系更密切一点。其中有一个洛斯阿拉莫斯分校，却不设在加利福尼亚州，而是坐落在东邻的新墨西哥州。如果说洛斯阿拉莫斯加州大学不像其它加州大学那么有名气的话，它的实验室却是世界闻名的。大家知道，世界上第一颗原子弹就是在洛斯阿拉莫斯实验室里研制出来的，虽然行政上说，这个实验室是洛斯阿拉莫斯加州大学属下的一个机构。前面说了，美国大学的教授都是终身的，但教授要开展研究工作，就要向国家的、军队的、大公司的基金会申请资助。如果一位教授已经连续好几年不出成果，那么尽管他过去名气很大，仍然很难得到资助。在一流的大学和研究机构
13、里，申请不到资助的教授日子是不大好过的。首先是开展科学研究总要有经费，没有经费真是寸步难行。其次，申请不到资助的话，长工资的机会就比别人少得多。参加学术会议，要钱；发表学术论文，也要钱。虽然别人可以在一个系或一个研究室的范围里调剂一点给你，但不单数额极其有限，讨施舍的味道也很不好过。相反，如果在连年有研究成果的基础上，提出新的研究计划；得到有关基金会的资助，那就有经费开展科学研究，其中还可以雇用几名助手。得到资助的另一个好处是可以从经费中得到假期工资。大家知道，美国大学的假期是比较长的，暑假长达三四个月。菲根鲍姆到了洛斯阿拉莫斯实验室，名为卡拉瑟斯的助手，但教授却放手让他自己做研究工作，愿意考
14、虑什么问题就考虑什么问题，喜欢怎样研究就怎样研究，并且由于有了助手的名义，可以利用实验室的办公室，图书馆和计算机。几年以来，菲根鲍姆在苦苦思索混沌现象，长期未有结果。要知道，他原来学的是基本粒子物理，而混沌现象正如后来明确的那样却属于理论物理的范畴。他实在是入迷了。光阴流逝，晋升无望，他都置之不顾，对科学的热爱自会把一切烦恼推开。正如马克思所说，在科学的门口就像在地狱的门口。没有甘愿为科学下地狱的精神，又怎能窥视科学的真谛。康奈尔大学和弗吉尼亚专科学院的四年虽然未出成果，但辛勤的思索总是会有收获的。到了洛斯阿拉莫斯实验室以后，工作条件好了，不用为应付上课而分心，他可以整天泡在办公室里，图书馆里
15、，可以整天和计算机打交道。混沌现象难道没有任何规律吗？他不相信。没有现成的理论工具，他就从“最笨”的函数叠代做起。几年时间里，他手不离微型计算机机和自己那台可编简单程序的小型计算器，他一次一次地进行径代计算，这样那样地拼凑组合，看看有什么规律可循。在他刚到洛斯阿拉莫斯实验室理论部工作的头几个月，理论部的物理学家们发现，菲根鲍姆这位他们的新同事每天都可以工作十六个小时！他的工作简直没有什么回程表，也不知道按时去学术厅喝咖啡。有时候，他独自在淡淡的夜雾中，良久徘徊在星光笼罩的小径上，甚至当地的警察也曾对他的行为感到恼火。他真是一个古怪的人物，好久才发表过一篇很平常的论文，而悉心钻研的却是混沌现象这
16、样一个前景黯淡的题目。那时候，许多同事怀疑他能否有所建树。他们对他非常友好，很愿意帮助他。可是菲根鲍姆头脑里的问题常常是令人感到玄之又玄。比如他问“什么是时间” ，周围的物理学家也不知道怎么回答才好。我们讲过，生物学家认为，确定性的模式能产生古怪的结果这一点十分重要。但是菲根鲍姆却更进一步，他认为确定性的模式不仅能产生古怪的结果，而且一定存在着一些人们可以探索并且必须认真对待的重要规律。生物学家和数学家已经揭示出了简单叠代时发生的周期倍增现象，先是二周期的，再是四周期的，接下去是八周期的，十六周期的，直到发生紊乱。菲根鲍姆猜想，这个周期倍增，究竟还有别的更要紧的规律没有？差不多经历了六年苦思冥想，灵感终于来到。菲根鲍姆感到头脑里出现了一张图画，画面上有两个小波浪图形，一个大波浪图形，再没有别的东西。一个，两个；一个，变成两个。菲根鲍姆一次一次地进行叠代，记录数据，把这些数据拼凑来拼凑去，组合来组合去，最终，他得到了本世纪的重大发现之一：对截然不同的函数进行叠代，在叠代过程转向混沌时，
