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1、实验五：特征值特征向量姓名： 李思琴 20107109 周春雪 20107110 吴思 20107111 专业： 机电三班 成绩： 一、实验名称：特征值特征向量二、实验目的：1利用 MATLAB 的函数 eigshow 理解方阵的特征值与特征向量的含义以及实特征值与复特征值的区别；2掌握利用 Matlab 函数 eig 求特征值与特征向量的方法；3. 验证方阵的特征值与特征向量的性质；4. 理解利用概念求特征值与特征向量的方法的局限性。三、实验准备：1. 特征值特征向量的概念与计算方法： 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维向量 x 使关系式 Ax=x 成立，那么，这样的数 称为方阵 A
2、 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量。计算方法： 1、计算矩阵 A 的特征多项式|A-E|；2、由特征方程|A-E|=0 得所有根为矩阵 A 的特征值；3、对于 A 的不同特征值 i，解方程（iE-A）x=0 得到基础解系（1，2，2） ，基础解系中特征向量的组合k11+k22+knn（k1，k2，kn 不同时为 0）即为 i 的全部特征向量。2. 特征值与特征向量有哪些性质：（1)、A 与 A的特征多项式相同，特征值相同；（2） 、设 为 A 的特征值， 为 的特征向量，则：1） 、对任意的 k 有，k 是 kA 的特征值；2） 、对任意正整数 k 有，有 的 k
3、次方是 A 的 k 次方的特征值；3） 、若 A 可逆，则：1/i 是 A-1 的特征值， 是对应的特征向量；|A|/i 是 A*的特征值， 是对应的特征向量；4） 、g（）是 g(A)=a0Am+a1Am-1+amE 的特征值，a 是对应的特征向量，若：g（A）=0，则 g（）=0。3. 利用定义求特征值与特征向量的方法的局限性： 不易计算四、实验内容1.特征值的可视化。 Matlab 有一个工具 eigshow，可以把线性变换的作用可视化。eigshow 命令打开一个图形窗口，同时显示一个单位向量 x 和 Ax，即 x 在 A 下的像。矩阵 A 可以通过 eigshow 命令的输入参数给出
4、，或从图形窗口顶端的菜单中选择。为看到算子 A 在其它单位向量上的作用，将鼠标指向向量 x 的点，并拖动 x 延逆时针方向绕单位圆旋转。当 x 运动时，将可以看到像 Ax 的变化。在这个练习中，我们将例用 eigshow工具，研究 eigshow 菜单中矩阵的特征值和特征向量。（1）菜单顶部的对角矩阵为 543A初始时，选择这个矩阵，向量 x 和 Ax 均应沿着 x 轴的正向。这个初始位置给出了特征值-特征向量对的什么信息？试说明。将 x 沿着逆时针方向旋转，直到 x 和 Ax 平行，即它们均位于过原点的直线上。对第二个特征值-特征向量对，可以得到什么结论？对第二个矩阵，重复这个试验。通过观察
5、，不经过计算，你怎样求得一个 22 对角矩阵的特征值和特征向量？（2）菜单中的第三个矩阵为单位矩阵 E。当你将 x 绕着单位圆旋转时，x 与 Ex 在几何上的比较是什么？在这中情况下，你可以得到关于特征值和特征向量的什么结论？（3）第四个矩阵的对角线元素为 0，且对角线下的元素为 1。将 x 绕单位圆旋转并注意什么时候 x 和 Ax 是平行的。基于这个观察，求其特征值和对应的单位特征向量。通过将求得的特征向量乘以矩阵，验证 来检验你的答案。Ax（4）eigshow 菜单中的下一个矩阵，除了（2，1）位置上的元素替换为-1 外，和上一个矩阵相同。将 x 完整地绕单位圆旋转一周。x 和 Ax 平行
6、过吗？A 是否有某些实的特征向量？通过这个矩阵的特征值和特征向量，你可以知道什么？（5） 研究菜单中的第六、七、八三个矩阵。对每种情况，尝试从几何上估计其特征值和特征向量，并使你猜测的特征值和矩阵的迹相容。通过令X,D=eig(0.25,0.75;1,0.5)求第六个矩阵的特征值和特征向量。X 的列为矩阵的特征向量，且 D 的对角元素为特征值。采用相同的方法检验其它两个矩阵的特征值和特征向量。（6）研究菜单中的第九个矩阵。对它的特征值和特征向量，你可以得到什么结论？用eig 命令求其特征值和特征向量，检验你的结论。（7）研究菜单中的后面三个矩阵。应当注意后两个矩阵的特征值是相等的。对每一个矩阵
7、，它们的特征向量的关系是什么？用 Matlab 计算这些矩阵的特征值和特征向量。（8）在 eigshow 菜单中，运行最后一项，将随机生成一个 22 矩阵。尝试使用 10 次随机生成的矩阵，且对每一种情形，确定它们的特征值是否为实的。10 个随机生成的矩阵中有实特征值的百分比是多少？随机生成矩阵的两个是特征值相等的可能性是多少？试说明。2. Matlab 提供了一个函数 eig 可以计算方阵的特征值与特征向量。试利用 eig 计算下列方阵的特征值与特征向量：（1） ；（2） ；（3） 。316A214A123456789A3. 构造一个矩阵 A，例如可令 A=round(5*rand(6)，可
8、用 e=eig(A)求 A 的特征值。（1）A 的迹可以用 Matlab 命令 trace(A)求得，且 A 的特征值的和可使用命令 sum(e)求得。求这两个值，并比较它们的结果。使用命令 prod(e)求 A 的特征值的乘积，并将其与 det(A)比较；（2）分别计算 A2、 及其特征值与特征向量，并与 A 的特征值与特征向量比较；3（3）设 ，计算 的特征值与特征向量，并与 A 的特征值与特2()fE()f征向量比较；（4）若矩阵 A 不可逆，重新生成一个可逆矩阵 A，分别计算 A、 、 的特征值与特1*征向量，并比较结果。4随机选择一个 n，令 A=ones(n)+eye(n)（1）A
9、-E 的秩为多少？ 是 A 的几重特征值？为什么？利用 Matlab 函数 trace 求 A1的迹。其余的特征值 必等于多少？为什么？通过令 e=eig(A)求 A 的特征值加以验证。n（2）计算特征值的 Matlab 程序是基于 QR 算法的。也可以通过概念计算特征多项式的根求 A 的特征值。为确定 A 的特征多项式的系数，令 p=poly(A)，为了求 p 的根，可令 r=roots(p)并用 format long 显示结果。哪一种计算特征值的方法更精确，是用函数eig 还是求特征多项式的根？五、实验结果1. 特征值的可视化。（1）初始位置给出了特征值-特征向量对的信息： 特征值与特征
10、向量一一对应，原因： 一个特征值由一个确定的特征向量 求出 ，对第二个特征值-特征向量对，结论是： Ax 与 x 的运动方向相反 ，通过观察第一个矩阵和第二个矩阵，可以不经过计算得到 22 对角矩阵的特征值为： 2，1 ，特征向量为： 0 1,1 0 ；12（2）当你将 x 绕着单位圆旋转时，x 与 Ex 在几何上 重合 ，因此单位矩阵 E 的特征值为： 1=2=1 ，特征向量为： 0 -1,1 1 ；（3）将 x 绕单位圆旋转，出现 x 和 Ax 是平行的角度： 45或 225，因此该矩阵的特征值为： 1=-1，2=1 ，特征向量为： -1 1 ,1 1 ；（4）x 和 Ax 平行过吗？回答
11、： 不平行 ，A 是否有某些实的特征向量？回答： 否 ，通过这个矩阵的特征值和特征向量，你可以得到结论：矩阵的特征值和特征向量可以是实数也可以是复数 ；（5）第六个矩阵的特征值的估计值为： -1/2,5/4 ，真实值为： -1/2,5/4 ，第六个矩阵的特征向量的估计值为： -985/1393 985/1393,-3/5 -4/5 ，真实特征向量为： -985/1393 985/1393,-3/5 -4/5；第七个矩阵的特征值的估计值为： 184/1977 ,2161/1609 ，真实值为： 184/1977 ,2161/1609 ，第七个矩阵的特征向量的估计值为： -1736/1909 25
12、0/601,-671/1186 -4216/5113 ，真实特征向量为： -1736/1909 250/601,-671/1186 -4216/5113 ；第八个矩阵的特征值的估计值为： 151/280 2507/2977 ，真实值为： -1451/3990 517/555 ，第八个矩阵的特征向量的估计值为： 151/280 2507/2977 ，真实特征向量为：-1451/3990 517/555 ；（6）关于第九个矩阵的特征值与特征向量，通过观察，你估计特征值为： 7/8+253/765i ,7/8-253/765i ，特征向量为：980/4801-701/1298i 881/1079,9
13、80/4801+701/1298i 881/1079 ,利用 eig 命令求得特征值为：7/8+253/765i ,7/8-253/765i，特征向量为：980/4801-701/1298i 881/1079,980/4801+701/1298i 881/1079,两个结论一致吗？结论： 估计与计算的结果一致 ；（7）对每一个矩阵，它们的特征向量的关系： ，用 MATLAB 函数 eig计算得到第十个矩阵的特征值为： 0， 3/2 ，特征向量为：-2584/2889 1292/2889, -985/1393 -985/1393 ，计算得到第十一个矩阵的特征值为： 1/2 +1/2i ,1/2-
14、1/2i，特征向量为： 2584/2889 +1292/2889i,2584/2889 -1292/2889i，计算得到第十二个矩阵的特征值为：1 和 1，特征向量为：2889/3230 -1292/2889, -2584/2889 1292/2889，（8）10 个随机生成的矩阵中有实特征值的百分比是： 90 ，随机生成矩阵的两个是特征值相等的可能性是： 不可能 。2. （1）的特征值为： -1,*,9 ，特征向量为： 985/1393 780/1351 881/2158 -985/1393 780/1351 881/2158 0 -780/1351 881/1079 ；（2）的特征值为： 1+i,1-i,* ，特征向量为： 491/818 - 525/2449i 491/818 + 525/2449i 985/1393 525/2449 - 315/2449i 525/2449 + 315/2449i * 664/911 664/911 985/1393 ；（3）的特征值为： 1150/963,3657/31868,29/13353 ，特征向量为： 979/1029 1145/2042 229/1468 934/3519 -1418/2163 -1199/1611 269/1723 -2581/5103
