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1、自动控制原理,第三讲,系统的数学模型(I),2017/12/16,3,内容提要,控制系统的微分方程相似原理Laplace 变换传递函数,2017/12/16,4,引言,数学模型：描述系统特性，揭示变量间的关系 时域数学模型 复域数学模型 频域数学模型 频率特性,微分方程差分方程状态方程,传递函数脉冲传递函数,2017/12/16,5,解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。,实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,数学模型：描述系统特性，揭示
2、变量间的关系 -数学建模的一般方法,2017/12/16,6,叠加原理,2017/12/16,7,回顾：控制系统的方框图,在系统方框图中，系统的主要部分用几何图形表示，用于描述各部分的基本功能以及各部分的相互关系,2017/12/16,8,回顾：方框图的绘制方法,Step 1: 分析反馈控制系统的工作原理Step 2: 确定各主要部分及其相互关系 Step3: 画每个部分的方框图Steps4: 将各部分的方框图连起来得到完整的系统方框图.,2017/12/16,9,注意,方框图是对控制系统的抽象的符号描述,必须要有严格的数学模型才能对控制系统进行分析,2017/12/16,10,为什么需要数学
3、模型？,是控制系统的严格的数学描述 帮助我们有效地理解、分析和设计各类控制系统 在控制理论的发展进程中起到过至关重要的作用,2017/12/16,11,控制系统的动态特性,控制系统随时间呈动态特性描述动态特性最好的数学工具是微分方程,输入,时间轴,干扰,平衡状态,干扰,偏离平衡状态,重回平衡状态,自动调节,输出,2017/12/16,12,微分方程,是包含变量及其导数的方程,2017/12/16,13,建立微分方程的方法,1 确定系统的输入变量和输出变量输入变量: 一般是干扰或者给定量输出变量: 一般是被控制的变量2 建立一组微分方程机械系统用牛顿定律电器系统用基尔霍夫定律3 消除中间变量，建
4、立输入与输出变量之间的微分方程,2017/12/16,14,4 整理所得的微分方程。将与输出有关的项放在方程的 左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项 按降幂排列。,2017/12/16,15,回顾：典型元件所遵循的物理定律,2017/12/16,16,例1,2017/12/16,17,2017/12/16,18,2017/12/16,19,2017/12/16,20,例2：编写RLC 电路微分方程,2017/12/16,21,Step 1:Input: voltage (u)Output: voltage (uc),2017/12/16,22,Step 2:Kirchhoffs la
5、wthen,2017/12/16,23,Step 3:,2017/12/16,24,例3编写RC 电路微分方程,Step 1：,2017/12/16,25,Step 2：,2017/12/16,26,Step 3：,2017/12/16,27,例4编写直流电动机微分方程,Step 1：,2017/12/16,28,Step 2：,2017/12/16,29,Step 3：,可见电机的转速 既由 控制，又受 影响。,2017/12/16,30,相似原理,2017/12/16,31,非线性数学模型的线性化 对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学
6、模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。 这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。线性化原理：设非线性方程为 ，工作点为 ，其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数当 很小时，忽略二次以上导数项,2017/12/16,32,或可表达为简写为 式中这就是非线性化方程，这种线性化方法叫做小偏差方法。注意：1.非线性方程必为连续。 原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非 线性称为本质非线性。2.K值与工作点的位置有关。3.考虑增量X较小。,2017/12/16,33,微分方程求解,一般，微分方程
7、很难求出解析解Laplace 变换能够简化微分方程的求解,2017/12/16,34,Laplace 变换,Definition,2017/12/16,35,Laplace 变换表 (I),2017/12/16,36,Laplace 变换表 (II),2017/12/16,37,Laplace 变换表(III),2017/12/16,38,Properties of Laplace Transform,2017/12/16,39,Final Value Theorem of Laplace Transform(拉氏变换的终值定理),2017/12/16,40,Inverse Transform
8、 （反变换）,2017/12/16,41,例1（续）,微分方程,2017/12/16,42,微分方程Laplace变换（设所有初始条件为零）,2017/12/16,43,微分方程Laplace变换（设所有初始条件为零） 传递函数,2017/12/16,44,传递函数,2017/12/16,45,传递函数的概念及意义 （1）传递函数的定义： 线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与 输入信号的拉氏变换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: 其中 为系统输出量， 为系统输入量 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：,2017/12/16,46,移项后得：上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(
9、s)输入量的 拉氏变换； W(s) 为系统或环节的传递系数。（2）传递函数的两种表达形式 a.传递函数的零极点表示形式 b.传递函数的时间常数表示形式,2017/12/16,47,求系统传递函数的方法,Step 1: 分析系统，建立系统的微分方程Step 2: 将微分方程的两边做Laplace变换Step3: 求出系统的传递函数,2017/12/16,48,例5,已知系统的微分方程为:,设输入和输出的所有初始条件为零求： 系统的传递函数(x为输入，y为输出),2017/12/16,49,Step 1:Step 2: Laplace 变换,2017/12/16,50,Solution of SP2.1(II),Step 3: 传递函数,2017/12/16,51,传递函数的特点,2017/12/16,52,传递函数的一般形式,2017/12/16,53,传递函数的零极点,2017/12/16,54,用传递函数分析控制系统,
