2011年数学建模优秀论文A10286004

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1、参赛密码 （由组委会填写） 全全 全全 国国 第第 八八 届届 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 学 校 东南大学 参赛队号 10286004 队员姓名 1. 薛敏迪 2. 王 伟 3. 朱秉诚 参赛密码 （由组委会填写） 1 全全 国国 第第 八八 届届 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛题 目 基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真 摘 要： 本文首先介绍了 光子建模的一些经典假设。包括龚祖同院士提出的类氢原子假设以及北京大学提出的光子是一个按光速直线前进的电磁场的猜想。之后又简要介绍了国内外一些其他的模型。针对以上各种假设，我们认真借鉴了其 中的合理部

2、分，同时也仔细分析了各个模型中不符合客观事实的一些内容 ，为提出自己的模型 作 出铺垫。 我们认为经典的碰撞模型 不符合光子和原子核体积极小的事实，而且 不能够很好的解释 单缝衍射中 “缝变窄，则偏离中心较远处光强变强”的现象。 更重要的是，如果光子真的在单一狭缝处产生碰撞作用，那么到达光屏聚焦点的 相位 将会千差万别，根本无法形成 实验现象中呈现 sinc 平方形式的亮度条纹。 在文中我们也对于这种碰撞进行了建模，尝试着说明碰撞模型的缺陷。 而对于 波动论中 将光子完全建模成电磁场的设想，虽然能够较好的解释干涉、衍射等现象， 但是对于 赫兹于 1887 年 提出 的光电效应以及 1923 年

3、美国物理学家康普顿发现 的康普顿散射都无法给出合理的说明。 而且 对于光波在细缝 处 不沿直线传播这一现象，波动论也没有办法给出 直观的解释。 针对这一 系列 现象，我们从微观角度提出，任何缝壁都是 原子的集合，光子由于体积微小，速度极快，直接和原子核撞击的概率几乎为 0，更多时候是受到大量 原子核的牵引产生 多次 微弱的角度变化。 我们借鉴 了天体物理中关于二体运动的 三种 轨迹，利用其中得到的结论对大量原子核的 牵引作用进行概率建模，使用中心极 限定理提出出射角度基本符合高斯分布的假设，和实验现象进行了对比，得出了接近各个实验现象的结果。 构造出一个在误差范围内能够符合波粒二象性的模型。

4、之后，我们使用这一统计模型，仿真了单缝衍射、双缝干涉、多缝干涉现象，和实验得到的图样进行了对比。 关键词：波粒二象性、光子、中心极限定理、二体运动、光衍射、光干涉 2 1 问题背景 人类对光的研究起源很早，但对光本质的认识经历了一个较漫长的过程。光究竟是波还是粒子？光的波动说与微粒说之争从十七世纪初开始，至二十世纪初以光的波粒二象性告终 。但是至今，人类都未能对光子的结构有一个准确的认识，关于光子结构的猜想与相关实验仍旧是物理学中的一大热门课题。 1.1 相关假设 爱因斯坦 提出光子概念 之后 ， 有许多物理学家致力于探索光子波粒二象性的奥秘， 对光子结构提出许多假设，其中很多模型有一定价值

5、。 1.1.1 龚祖同院士假设 爱因斯坦之后继续有许多物理学家致力于探索光子波粒二象性的奥秘，并且也取得一定 的进展。我国已故的龚祖同院士猜想，光子并非仅是一个质点，其构造可能与氢原子类似，最简单的形式是由一个负电荷和一个与其等量的正电荷组成，负电荷在一个球形的轨道上围绕正电荷旋转。因此光线通过一个小孔或一条细缝时，如果其中一个电荷与小孔或狭缝边沿发生弹性碰撞或非弹性碰撞或被边缘吸引，光子的运动方向就会改变（在微观情况下遮挡物也不再可以视为平面），由此产生衍射。如果缝比较宽，则与小孔或细缝边缘发生碰撞的光子比例就会大大减少，直至几乎看不出来衍射。 1.1.2 北京大学假设 北京大学又有学者提出

6、光子是一个按光速直线前 进的电磁场的猜想。光子的速度都相等。这个电磁场按照由光的波长所决定的角速度围绕上述前进直线旋转，相位由电场在 x 方向的投影或磁场在 y 方向的投影所决定，其旋转方向也只有左旋、右旋两种，因此事实上单个光子只有左旋光子、右旋光子两种。但一个左旋光子与一个右旋光子可以组成一个线性偏振光子对。当一个左旋光子与一个运动方向完全相同的右旋光子相遇时，如果相位完全相反，则发生光子湮灭现象。如果相位完全相同，则增强，由于能量与电磁场的强度是平方关系，相当于有 4个光子存在。由于从两条细缝到达屏幕上同一点的距离不同，分别通过两条缝 来的光子就会有相位差，由此产生双缝干涉现象。猜想偏振

7、镜片仅让相位均值方向与偏振镜片光轴平行的线性偏振光子对通过。由于正常光线中包含处于各种相位的光子对，在同时与偏振镜片碰撞时，这时各种相位的光子对会重新组合，产生平行于、垂直于偏振镜光轴的光子对，平行于偏振镜光轴的光子对能够通过偏振镜，而垂直于偏振镜光轴的光子对则被偏振镜阻挡，由此大约 50%的光线可以通过偏振镜片。这种情况仍然符合能量、动量、角动量守恒定律。 既然原子是经典电磁场中的最小单位，我们完全有理由将光子假设为电场矢量 和磁场矢量 的叠加，当然这两个分量是相互垂直且共存于一球体空间中3 （ ），在这里分别用红色和绿色的箭头表征电场和磁场矢量的方向。如图 ： 图 1-1 北大猜测光子模型

8、 对大量光子而言，也可通过波矢量来表征，因而光子的能量就沿着方向 K流动，这也就意味着它与经典的 E&M 平面波类似。光子成为平面波中一微小的单元。换言之，经典的平面 E&M 波就是大量上述光子的重叠。根据爱因斯坦质能方程： = 2 = = （ 1-1） m = h/2 （ 1-2） 光子的动量表示为 = ，这里 h为普朗克常量。根据麦克斯韦电磁场方程，光子的质量来源于电场和磁场分量 和 。大量运动的光子组成了这样的物质场。 既然光子的角动量为 J = h，这说明在现实中的光子要么是非极化的要么是线性极化的，根据螺旋型参量的不同存在着右手循环极化光子和左手循环极化光子，其中左右手的循环极化光组

9、成了左旋或右旋的光子，而相干的左右旋光子对中同步的合成出线性极化光。 在量子电动力学中， 作为光子的振荡频率，而 h表示光子的自旋 角动量。这里我们假设光子并不像电磁场那样进行振荡，而 代表光子的极化旋转角频率，即旋转频率。波数量 k 为其单位长度沿运动方向的旋转周期。对于在真空中的平面波光子而言，满足以下分散关系： =c （左旋）； = c （右旋）。光子运动一个波长所花的时间刚好等于其在自由空间旋转一个周期的时间（弧度数为2 ），如图所示。电场和磁场分量（ ,）的方向决定了光子的旋转相角。这里我们定义光子运动的群速率为 ， = = （ 1-3） 光子的相速度则由其旋转相位的移动速率决定，

10、= = （ 1-4） 4 在自由空间中， = = 的事实意味着光子的径向运动和旋转是完全同步的。明显的，光子的能量表达式可被重写为： E = m2 = = p （ 1-5） 在无限大的真空空间中，光子呈螺旋状存在，以光速 c 和旋转速度 传播。在任何瞬态，光子的能量，动量以及角动量都是存在的。其波状特性来源于螺旋形旋转运动的周期性，而不是传播的到处都是。事实上，根据我们的模型，光子的重心保持着直线运动，而电场和磁场分量（ ,）呈螺旋形的运动。这是光子能量守恒、动量守恒、角动量守恒定律的重要推论。 图 1-2 左旋光子模型 图 1-3 右旋光子模型 5 当相同频率的光子相互干涉时，会发生两种情况

11、。当两相干光子的电磁场分量（ ,）同向时，合成的电磁场分量等于 2(2)，该表观能量为单个光子的 4 倍，称为光子的表观状态，它等同于呈现 4 个光子。同样的，两相干光子的电磁场分量（ ,）反向时，合成的电磁场分量为 0，这等同于没有光子呈现。这叫做光子的隐匿域。事实上，两相干光子可在（ 0。 360。 ）任意叠加。 线性极化光是由右手循环极化光和左手循环极化光之间进行同步干涉形成的 ，如图 1-4 所示： 图 1-4 左旋右旋光子叠加 上述两种极化光 经 叠加后，其电磁场分量在波长周期内，有些点增强，有些点减弱，产生不同的相位，在双缝干涉、单缝衍射及光栅衍射中产生明暗条纹。 1.2 自建 模

12、型 电磁场能量互换 龚祖同院士的类氢原子模型直观易懂，将相位特征归结于“双星结构”，构造出了一个同时具有质量和相位的微粒结构。但是在利用基于氢原子结构的碰撞模型进行建模时，出现了一些意想不到的矛盾，具体内容将在碰撞模型中详述。 电磁场旋转模型赋予了光子相位特征，然而对于电磁波中矢量方向圆周旋转的原因并未给出更具体的解释。 正如北京大学提出的假设，经典波动论直接将光看做一种电磁波，因而从根本上禁止了光子具有质量。 1899 年，俄国物理学家列别捷夫用实验测得了光压，证实了麦克斯韦的预言。光压的存在说明了电磁波具有动量，因而是 光子具有质量的 有力证明。 华中科技大学教授罗俊在日前出版的权威的物理

13、学评论快报(Physicak Review Letters)上 指出， 在任何情况下，光子的质量都不会超过 10的负 54 次方千克 ，这实际上也默许了光子质量的存在。 我们认为电磁波受到麦克斯韦方程组的支配，呈现出电磁场能量交换的过程6 是肯定的。同时，这种电磁波本身应该再被赋予质量，就形成了我们假设的光子结构模型。 光子的结构图如图 1-5 所示： 这种 光子模型由于具有质量，因此有可能受到其他微粒的影响，后文仿真中将会详述。同时由于电磁波本身的电磁能量互换，也会有相位特征，能够产生波动性实验中的一系列现象。 图 1-5 自建光子模型 在我们的猜想中，光子的粒子性结构于北京大学 关于电磁场

14、旋转 的猜想略有不同，既然光子同时包含了电场分量和磁场分量（ ,），根据能量守恒定律，在光子的运动过程中，电场和磁场是互相转化的，在一个波长周期内电场和磁场的大小变化情况如下： 图 1-6 自建光子模型电磁场示意 如上图所示，沿光子的运动方向，在波长的整数倍位置，光子仅有磁场分量，即能量全部由磁场的能量体现；在四分之一波长处，光子既包含了电场分量 ，也包含了磁场分量 ；依此类推，在光子的运动方向上，电场和磁场的能量相互转化，与一个波长周期中的运动位置同步变化。 对大量光子而言，也可通过波矢量来表征，因而光子的能量就沿着方向 K 流7 动，这也就意味着它与经典的 E&M 平面波类似。光子成为平面

15、波中一微小单元。换言之，经典的平面 E&M 波就是大量上述光子的重叠，而在我们的假设模型中，同一运动方向上仅有电场和磁场方 向固定的光子。 由于打在光屏上的光程差的不同，光子的电场与磁场分量叠加后，产生了相位的改变 如图所示。 图 1-7 光子相位变化示意 上述光子模型的相位由电场分量于磁场分量的合成方向来表征，从宏观角度出发，打到光屏上的光子，将进行电场分量和磁场分量的叠加，而叠加后电磁场分量的合成方向也就决定了该处的光子相位。 8 2 单缝衍射 单缝衍射是光在传播过程中遇到障碍物，光波会绕过障碍物继续传播的一种现象。如果波长与障碍物相当，衍射现象最明显。 衍射现象 射是具有 波动性的物质的共性 。因此，单缝衍射是光具有波动性的一个佐证。 2.1 实验现象 当一束单色光垂直射向狭缝，部分光线改变方向继续传播，在光屏上形成明暗交错的