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1、第十七讲 一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？知识点:1.一笔画的概念:如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。2.一笔画的规律3.奇点和偶点例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1） （2） （3） （4）分析 图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
2、数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。再看图（1） 、 （4） ，其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有 4个奇点，2 个偶点，不能一笔画成。这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。例【2】 下面各图能否一笔画成？AECDB CDAA BCDBF（1） （2） （3）分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。关于图（2） ，经过反复试验，也可找到画法：由 A B C A D C。图中 B、D 为
3、偶点，A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有 4个奇点，5 个偶点。解 图（1） 、 （2）可以一笔画。这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A开始或由 B开始到 B结束或到 A结束。图（2）有 10个奇点，大于 2，不
4、能一笔画成。图（3）有 4个奇点，1 个偶点，因此也不能一笔画成。解 图（1）的画法见下图。例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？AOB CD（1）ACDB CDAB 分析 图（1）有 4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A） 、 （B）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。解 将图（1）分成图（A） 、 （B） ，则图（A）可由 A-B-O-D
5、-A-C-D一笔画成，图（B）由 B-C一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。1.只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。2.只有两个奇点（其余均为偶点） ，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。3.奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。习题二1. 请将图中的小黑点按 1，2，3，4，5的顺序，用线连接起来，看看是什么？OAB CD（1）AOB CD（A）B C（B）2. 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以
6、一笔画的图形，指明画法.（注意：在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。）3下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？4.请一笔画出下列各图.5，下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从 A、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达 C？6.判断下列各图能否一笔画出，并说明理由.7下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？8下图是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应设在哪里？9一张纸上画有如下图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？10下图是一个公园的平面图.要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？11下图是一个商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场（阴影部分为各商品部，空白处为通道），请你设计一种能够一次走遍各通道而又不必走重复路线的进出方法.
