三角函数的发展历史

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1、1三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元 1600 年，实际导源于希腊文 trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。西方的发展三角学Trigonometry创始于公元前约 150 年，早在公元前 300 年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔

2、、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯(p13) 利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的弦表，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了三角学之父的称谓。公元 2 世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成天文学大成13 卷，包括从 0到 90每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，

3、被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus ）写了一本专门论述球三角学的著作 球面学，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。 (二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据周髀算经记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为重差术。1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的大测为代表。同年徐光启等人还编写了测量全义，其中有平面三角和球面三角的论述。16

4、53 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编三角算法，以三角取代大测，确立了三角名称。1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。 现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于 20世纪中。 贰、三角函数的演进正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。 2尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在无穷小分析引论一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为 60；印度

5、人阿耶波多（约 476-550）定半径为 3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径 600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为 107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称 AB 为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为AOB 的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆 O 成为从属地位了。 到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为 1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。 正弦、余弦 在ABC

6、中，a、b、c 为角 A、B 、C 的对边，R 为 ABC 的外接圆半径，则有 称此定理为正弦定理。 正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔. 威发 (940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼973-1048(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。 也有说正弦定理的証明是13 世纪的那希尔丁在论完全四边形 中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。 这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。托勒密（ Claudius Ptolemy ）的天文

7、学大成第一卷除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：它给出一个圆从 （ ） 到 180每隔半度的所有圆心21DCB0AP3角所对的弦的长度。圆的半径被分为 60 等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号 crd a 表示圆心角所对的弦长， 例如 crd 36=37 p455，意思是：36 圆心角的弦等于半径的 （或 37 个小部分），加上一个小部分的 ，再加上一个小部6037 604分的 ，从下图看出， 弦表等价于正弦函数表，因为 3605120OsincrdAB的 直 徑圓公元 6 世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔 345的正弦表，依照巴比伦人

8、和希腊人的习惯，将圆周分为 360 度，每度为 60 分，整个圆周为 21600 份，然后据 2r=216000，得出 r=3438近似值，然后用勾股定理先算出 30、45 、90 的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔 345的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。2.正切、余切著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼850-929于 920 年左右，制成了自 0到 90相隔1的余切cotangent表。 公元

9、727 年，僧一行受唐玄宗之命撰成 大行历 。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切tangent函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度角和太阳天顶距角互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近 200 年。14 世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯1393-1449，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数 9 位。他还制造了 30到 45之间相隔为1，45到 90的相隔为 5的正切表。 在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁1290

10、？-1349首先把正切、余切引入他的三角计算之中。 3.正割、余割正割secant及余割cosecant这两个概念由阿布尔威发首先引入。sec 这个略号是 1626 年荷兰数基拉德1595-1630 在他的三角学 中首先使用，后经欧拉采用A M BAO4才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。 欧洲的文艺复兴时期，14 世纪-16 世纪伟大的天文学家哥白尼 1473-1543 提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为 1015，以制作每隔 10的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算机。全靠笔算，任

11、务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达 12 年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到 1596 年，才由他的学生鄂图1550-1605 完成并公布于世， 1613 年海得堡的彼提克斯 1561-1613 又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。 4.三角函数符号 毛罗利科早于 1558 年已采用三角函数符号， 但当时并无 函数概念，于是只称作三角线（ trigonometric lines）。他以 sinus 1m arcus 表示正弦，以 sinus 2m arc

12、us 表示余弦。 而首个真正使用简化符号表示三角线的人是 T.芬克。他于 1583 年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan. ”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“ sec. com”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。 使用者 年代 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 备注罗格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl Sec Sec.Compl吉拉尔 1626 tan sec.杰克

13、1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.欧拉 1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec谢格内 1767 sin. cos. tan. cot. 巴洛 1814 sin cos. tan. cot. sec cosec 施泰纳 1827 tg 皮尔斯 1861 sin cos. tan. cotall sec cosec奥莱沃尔 1881 sin cos tan cot sec csc 申弗利斯 1886 tg ctg 万特沃斯 1897 sin cos tan cot sec csc 舍费尔斯 1921 sin cos tg ctg

14、 sec csc 注：现代（欧洲）大陆派三角函数符 现代英美派三角函数符号 5我国现正采用类三角函数符号。 1729 年，丹尼尔伯努利是先以符号表示反三角函数，如以 AS 表示反正弦。1736 年欧拉以 At 表示反正切，一年后又以 Asin 表示 于单位圆上正弦值相等于 的弧。 cbbc1772 年，C 申费尔以 arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以 表示反正弦函1sin.arc数。1776 年，兰伯特则以 arc. sin 表示同样意思。1794 年，鲍利以 Arc.sin 表示反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如 arc sin

15、x，arc cos x 等。于三角函数前加 arc 表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头 Arc，以表示反三角函数之主值。 另一较常用之反三角函数符号如 sin-1x ，tan -1x 等，是赫谢尔于 1813 年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。 三、三角函数的和差化积公式下列公式称为三角函数的和差化积公式。 法国著名数学家韦达 1540-1603 (p18) 在他的著名的三角学著作标准数学中收集并整理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式: 【后记】三角函数名称的由来和补充想知道为何三角函数要叫做 sin，cos 这些名字吗？经过了多方的查取资料，找到了下图：6上面这个图称为三角圆（半径1） ，是用图形的方式表达各函数。其中我们可以看到，sin 为PM 线段，也就是圆中一条弦（对 2 圆周角）的一半，所以称为正弦 。而 cos 是 OM 线段，但 OMNP，故我们也可以将 cos 视为 NOP（90 -）的正弦值，也就是 的余角的正弦值，故称之为余弦 。其余类推。另外，除了课本中教的六种