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1、柯桥中学高三数学组 何利民,第七编 不等式,7.4 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题,在平面直角坐标系中，不等式 Ax + By + C 0 表示在直线：Ax+By+C = 0的某一侧的平面区域,1.二元一次不等式表示平面区域,(1)结论：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,(2)判断方法：由于对直线同一侧的所有点 (x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。,一般在C0时，取原
2、点作为特殊点。,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，否则应画成实线。2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。,2.简单的线性规划,有关概念 由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优
3、解。,练习：线性规划中的基本概念,不等式(组),一次,解析式,一次,(x，y),最大值,最小值,最大值,最小值,集合,究 疑 点1可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？,提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个,2点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线AxByC0的两 侧的充要条件是什么？,提示：(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画
4、出线性约束条件所表示的可行域；,基础自测1.下列各点中,不在x+y-10表示的平面区域的 是 （ ） A.（0，0） B.（-1，1） C.（-1，3） D.（2，-3）,C,2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 （ ） A.m10 B.m=-5或m=10 C.-5m0）仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为 。,题型三 线性规划的简单应用 【例3】某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物 8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、 丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨 货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到
5、 商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、 5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库 运货物到三个商店的总运费最少？ 由于题目中量比较多，所以最好通过列 出表格以便清晰地展现题目中的条件. 设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商 店的货物吨数，列出可行域，即可求解.,思维启迪,解 将已知数据列成下表： 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y）吨,从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y)吨、5-(12-x-y)=(x+y-7)吨,于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)
6、+5(x+y-7)=x-2y+126.,商店,仓库,每 吨 运 费,线性约束条件为目标函数为z=x-2y+126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示.,作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移 动到过点(0,8)时,在可行域内，z=x-2y+126取得最小值zmin=0-28+126=110,即x=0,y=8时总运费最少.安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少. 解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未
7、知量;(2)列出线性约束条件和目标函数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.,探究提高,知能迁移3 （2009四川，10）某企业生产甲、乙 两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原 料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可 获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原 料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获 得的最大利润是 （ ） A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元,解析 设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.由题意得 可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取
8、值时，z取得最大值，此时x=3，y=4,z=53+34=27(万元). 答案 D,题型四 线性规划的综合应用 【例4】（12分）实数x,y满足（1）若 求z的最大值和最小值，并求z的取值 范围；（2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值 范围. (1) 表示的是区域内的点与原点 连线的斜率.故 的最值问题即为直线的斜率的 最大值与最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是区域 内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.,思维启迪,解 作出可行域如图阴影部分所示. 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率， 4分因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在）.z
9、max不存在，zmin=2,z的取值范围是2，+）. 7分,解题示范,(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两 点间距离的平方. 9分因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2.由 得A(0，1)，|OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5.zmax=5，z无最小值.故z的取值范围是（1，5. 12分,探究提高 本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1) 表示点（x,y）与原点（0，0）的距离; 表示点（x,y）与（a,b）的距离.(2) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率; 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.,1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平 面的对应性.对于A0的直线l：Ax+By+C=0，Ax+By+ C0对应直线l右侧的平面；Ax+By+C0对应直线l左 侧的平面. 由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四 边形、多边形以及扇形域和带状域等.,
