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1、高中课程标准数学必修 4 3.1.1 两角差的余弦公式教案 第 1 页 共 4 页课题： 两角差的余弦公式教材：人教 A 版 数学必修 4一、教学目标：1.探究并纠正常犯的直觉性错误；2.探究并理解用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式；3.探究并理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式；4.掌握两角差的余弦公式的初步运用.二、教学重难点： 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角差的余弦公式难点：两角差的余弦公式的探索与证明三、教学方法与手段：1.在教学中可以利用多媒体动态演示“用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式”以及“用向量的数量积推导两角差的余弦公式”的过程，结合课件配合
2、教学。2.利用课件中的单位圆及线段、角度等，可以清晰的演示出公式的探索过程。四、教学过程： 教学过程提出问题 设计意图 学生活动1.计算 猜想，cos15430?是不是等于 呢？cos通过具体例子体会差角的余弦是否等于余弦值之差学生动笔计算，验证一、引入 2. 是否等于 ？)cos(由特殊到一般，明确直觉性的错误出错原因，体会“恒等”的含义学生动脑，动手验证3.三角函数的学习当中我们知道，等于角 与单位圆交点的横坐标，cos也可以用角 的余弦线来表示。怎样构造角 和角 ？复习三角函数线的有关知识 学生画单位圆，作出相关角的余弦线4.怎样作出角 的余弦线以及角的正弦线、余弦线？怎样利用几何、直观
3、寻求 OM 的表示式？使学生从直观角度加强对差角公式结构的形式特征，探索用三角函数线表示 )cos(学生结合单位圆，亲自探索二、三角函数线推导方法 5.思考：上面的推导是否有不严谨之处？是否存在特殊性？培养学生严谨的学习态度，体会所举例的特殊性，能否推广师生共同作答：推导过程是在高中课程标准数学必修 4 3.1.1 两角差的余弦公式教案 第 2 页 共 4 页到一般情况 都是锐、角，且 的情况下得到的。同学们可以课后动手试证明对任意角 ，都成立、6. 我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？引导学生发现，提出证明方法学生思考回答：向量的数量积7.应选择哪
4、几个向量，它们怎么表示？怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果？让学生经历用向量知识解出数学问题的过程，体会向量方法的作用根据老师的引导和观察动态课件，学生共同探索，明确应选择哪几个向量，具体怎样表示，怎样利用数量积的计算得到探索结果三、向量数量积推导方法8.对以上推导是否有不严谨之处？若有，请作出补充.培养学生严谨的思维习惯，小心求证实例中讨论的存在取值范围 0 ，如一般情形，是否仍然成立，留学生思考，课后进一步完善四、归纳结论9.小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？ 对比和理解两种探索方法的思路，并了解探究过程应遵循的原则学生小结、比较两种方法。用单位圆上的三角函数线推导
5、可从直观角度加强对差角公式的认识，用向量推导突出向量运算的威力，过程简洁。小结，得出公式：对于任意角 都有,sincos)c(五、例题10.例 1：利用差角余弦公式求 15cos的值。变式题：利用差角余弦公式求 的7in值。本例是通过应用理解公式的基本练习，应注意（1）具体的角应适当拆分成差角的形式（2）拆分的情况可能不唯一（3）思考变式问题，计算 可由三角75sin求解过程可由学生独立进行，教师适当点评，规范步骤，教师黑板板演学生自己动手算第二种方法，做到边学边练，并练习加以引高中课程标准数学必修 4 3.1.1 两角差的余弦公式教案 第 3 页 共 4 页函数的诱导公式转换成求 15cos
6、的余弦得到，启发学生多角度看问题申的题目。11.例 2：已知 ，),2(,54sin， 是第三象限角，求13cos的值。)(变式题：若将例 2 的条件 去掉，),2(该题如何解答？差角余弦公式的进一步熟练运用，应使学生体会：（1）应用差角公式应做的必要准备（2）结合相应角的取值范围确定角的正余弦值 正确运用公式计算差角的余弦，学生先作答，教师对答题中出现的问题进行修正，明确规范答题的步骤变式题对题目加以引申，若去掉这个条件，应进行分类讨论完成六、课堂小结12.通过本节学习你有哪些收获? 自我小结本节课的收获，让学生通过小结，加深对公式及其推导过程的理解师生共同归纳：本节课用单位圆上的三角函数线
7、和向量的数量积两种方法推导出两角差的余弦公式。理解和掌握探索的过程，可引导学生从两方面进行小结：（1）对公式的探索过程，用到了哪些知识，怎样探索并完善的；（2）认识差角余弦公式的结构特征，能表述变换过程。五、课后练习1利用两角差的余弦公式，求 75cos设计意图：题型同例 1，评价学生是否正确记忆并使用公式。2化简求值： 20in8208cos）（ 1si3）（设计意图：评价学生能否掌握公式的逆用，从反方向上正确运用公式化简求值。第（2）小题需要根据公式右边的特点，先分别将 化成同角的余、正弦。23、3已知 在第二象限，求23sin,cos,4cos()设计意图：题型同例 2，评价学生是否正确
8、掌握并运用公式。学生需要思考使用公式前应作出的必要准备，结合同角三角函数的知识进行计算。高中课程标准数学必修 4 3.1.1 两角差的余弦公式教案 第 4 页 共 4 页4 ，求1,(0,)tan3,cos()24cos设计意图：通过本题评价学生对差角公式掌握情况，以及灵活运用情况，难度较大。考察学生将 拆分为两个已知角之差： ，由已知角的范围进一步求 的正、余弦值，)( 的余弦值，需要结合同角三角函数的知识运算。附：教案说明1、本节课中，两角差的余弦公式的推导是本节的重点，也是难点，尤其要引导学生通过主动参与，独立探索，试着自己归纳结论。有些学生往往重“结论” ，轻“过程” ，只记忆结论，而
9、轻视公式、定理的推导过程，而这往往是数学学习中最能体现数学思维严密性及逻辑关系的一个部分，也恰恰是最能培养学生的数学应用能力的。教学中可侧重分析公式的结构特征，引起学生寻求适当方法推出公式的欲望，教师应在引导上多下功夫。配合 ppt 课件进行动态演示，可以收到较好的效果。2、对于例 1，例 2 的教学，应通过公式的简单应用，使学生能逐步熟记公式，掌握公式的结构特征，正确运用公式化简求值。可启发学生，在具体解题时，经常根据题意，适当进行“拆角”的变形，体会解题的灵活性。3、本节课的要求是“保证学生的主体地位，以学生为主导” ，作为探究课，应将课堂还给学生，引导学生积极思考。教师应张弛有度，由浅入深、由已知推未知、循序渐进的组织课堂教学。
