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1、第一节 微分方程的基本概念学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件学习难点：微分方程的通解概念的理解学习内容：1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2） ，且在该曲线上任一点 M（x,y ）处的切线的斜率为 2x，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为 足)(（1）时还满足以下条件：时， （2）1）式两端积分，得即 （3）2其中 C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得， 1由此解出 C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：（4）
2、2）列车在平直线路上以 20 的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2/开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后 t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数 满足：)(5）满足条件：时， （6）0t 20,)式两端积分一次得：（7）再积分一次得（8）中 都是任意常数。21,时 ”和“ 时 ”分别代入（）式和（）式，得0221值代入（7）及（8）式得21,（9）,4.0）在（9）式中令 ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：0v。)(入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程5t ).(020. 上述两个例子中的关系式（1）
3、和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 04是四阶微分方程。一般地， 阶微分方程的形式是n（11）,0),(中 F 是个 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中， 是必须出现的，而2 )(如 阶微分方程)1(, 外，其他变量都没有出现。)(1）中解出最高
4、阶导数，得微分方程（12）).,(1()( 后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数 在所讨论的范围内连续。研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数 在区间 上有 阶连)(果在区间 上，I ,0)(,)(,那么函数 就叫做微分方程（11）在区间 上的解。)(数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶
5、数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1 中的条件（2） ，例 2 中的条件（6） ，便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为 ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常)(的条件是时， ，00y或写成 0|中 ， 都是给定的值；如果微
6、分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0，0x0或写成 ，0|x|0 和 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。0定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程 满足初始条件 的特解这样一个问题，叫),(0|一阶微分方程的初值问题，记作（13）.|),(0做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题),(000|,|)( 在该点处的切线斜率为 的那条积分曲线。)(y0例题例 1 验证：函数（14）是微分方程（15）02 求
7、出所给函数（14）的导数,)把 及 的表达式代入方程（15）得212 )12函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题第二节 可分离变量的微分方程学习目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法学习重点：可分离变量的微分方程的解法学习难点：可分离变量的微分方程的解法学习内容：本节开始,我们讨论一阶微分方程(1),(2)0),(),()中,变量 与 对称,它既可以看作是以为 自变量、 为未知函数的方程,(),(自变量、 为未知函数的方程,()0,( 中，我们遇
8、到一阶微分方程， 上式两端积分就得到这个方程的通解：。2但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程（3）2因是方程（3）的右端含有未知函数 积分y我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以 ，使方程（3）变为2样，变量 与 已分离在等式的两端，然后两端积分得21或 （4）2其中 C 是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3） ，且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成（5）)(的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 的函数和 ，另一端只含 的函数和 ，定方程（5）中的函数 和 是连续的，设 是方程的解，将它代入)(
9、（5）中得到恒等式 .)()(上式两端积分，并由 引进变量 ，得)(xyy设 及 依次为 和 的原函数，于是有)(）)(因此，方程（5）满足关系式（6） 。反之，如果 是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在 的条件下， 也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求0)( 时， ,)()( 这就表示函数 满足方程（5） 。所以如果已分离变量的方程（5）中 和)()( ，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6） ，就用隐式给出)(）的解， （6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。
10、例 1 求微分方程 （7）通解。解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得 端积分 ,得 ,从而 。212因为 仍是任意常数，把它记作 C 便得到方程（7）的通解12 2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比。已知 时铀的含量为 ，求在衰变过程中含量 随时间变化的规律。0铀的衰变速度就是 对时间 的导数 。由于铀的衰变速度与其含量成正)(到微分方程如下（8）,其中 是常数，叫做衰变系数。 前的负号是指由于当 增加时 M 单调减少，即)0( 始条件为 0|程（8）是可以分离
11、变量的，分离后得 两端积分 以 表示任意常数，因为 ，得,即 方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。小结：本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程，及其解法。第三节 齐次方程学习目的：熟练掌握齐次微分方程的解法学习重点：齐次方程的解法学习难点：齐次方程的解法学习内容：1、 齐次方程的形式如果一阶微分方程 ),(的函数 可写成 的函数，即 ，则称这方程为齐次方程。例如),()()(为其可化为 2、 齐次方程（1）)(,(的解法。作代换 ，则 ，于是从而 ，)(x，x分离变量得 (两端积分得 x)(求出积分后，再用 代替 ，便得所给齐次方程的通解。如上例1分离变量，得 2)(积分后，将 = 代回即得所求通解。 解方程。) 解 原式可化为，)令 = ，则 ，于是 )分离变量 。 。
