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1、投影基础,投影的形成及要素,画透视图,常用的投影方法,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,中心投影,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差,投影特性,物体位置改变，投影大小也改变,中心投影,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性差,15,20,25,标高投影,平行投影,投射线相互平行的投影,斜角投影法,平行投影,正投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,点的投影,二、点的三面投影,投
2、影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,例：已知点的两个投影，求第三投影
3、。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,两点的相对位置,两点中x值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上,重影点的投影,特殊点的投影,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),a c,例 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影
4、面投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcos, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线, 投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角:与W面的夹角: ,实长,实长,实长,反映线段实长。且垂
5、直于相应的投影轴。, 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:, 一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,二、直线与点的相对位置, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,
6、点C在直线AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中
7、两条直线是否平行。,求出侧面投影, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2 ),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？, 两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCA
8、B, 同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。, 小 结 ,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、点的投影规律, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,二、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投
9、影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,三、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,四、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,五、相互垂直的两直线的投影特性, 两
10、直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。,直角定理,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,
11、a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,三、平面上的直线和点, 平面上取任意直线,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根
12、据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,
13、例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解, 两平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,二、相交问题, 直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线
14、MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。,
