第九章 二阶常微分方程级数解法,§9.1 亥姆霍兹方程,一、球坐标系：,一、球坐标系：,球函数方程,l阶球函数方程,欧拉型方程,K=0,一、球坐标系：,一、球坐标系：,一、球坐标系：,二、柱坐标系：,二、柱坐标系：,二、柱坐标系：,二、柱坐标系：,,§9.2 勒让德方程（Legendre’s Equation）,§9.2 勒让德方程,§9.2 勒让德方程,§9.2 勒让德方程,§9.2 勒让德方程,§9.2 勒让德方程,§9.2 勒让德方程,注：,§9.2 勒让德方程,,§9.2 勒让德方程,MATLAB计算连带勒让德函数的指令是： P=lengendre(N,x)计算N阶连带勒让德函数在x处的函数值如果x是矢量，所得的结果P是矩阵，而P(m+1,i)则是连带勒让德函数PN(m)(x)在x(i)处的函数值利用上面函数，可绘制出教材第224页图10-1§9.2 勒让德方程,clear allclcx=0:0.01:1;for N=1:7 eval(['y',num2str(N),'=legendre(N,x);']);endplot(x,y1(1,:),'-',x,y2(1,:),'-.',x,y3(1,:),':',... x,y4(1,:),'--',x,y5(1,:),'-o',x,y6(1,:),'-*',x,y7(1,:),'-+')title('勒让德多项式')legend('P_1','P_2','P_3','P_4','P_5','P_6','P_7')grid on,一、勒让德多项式的常用性质：,例题：使用maple指令绘制出勒让德多项式的图形。
解：% Fig252.m %第一种方式yy0=maple('orthopoly[P](0,x)')yy1=maple('orthopoly[P](1,x)')yy2=maple('orthopoly[P](2,x)')yy3=maple('orthopoly[P](3,x)')yy4=maple('orthopoly[P](4,x)')yy5=maple('orthopoly[P](5,x)')x=0:0.05:1;yy0=subs(yy0,x);yy1=subs(yy1,x);,一、勒让德多项式的常用性质：,yy2=subs(yy2,x);yy3=subs(yy3,x);yy4=subs(yy4,x);yy5=subs(yy5,x);subplot(121)plot(x',yy0,'b-+',x',yy1,'b--',... x',yy2,'b-.',x',yy3,'b--*',... x',yy4,'b-d',x',yy5,'b--o')axis([0 1 -0.7 1.2])xlabel('x')ylabel('P_l(x)')title('前6个勒让德多项式的曲线')text(0.7,1.1,'P_0(x)')text(0.7,0.8,'P_1(x)'),一、勒让德多项式的常用性质：,text(0.7,0.45,'P_2(x)')text(0.7,0.05,'P_3(x)')text(0.02,0.43,'P_4(x)')text(0.85,-0.35,'P_5(x)') %第二种方式maple('with(orthopoly)')yy0=maple('P(0,x)')yy1=maple('P(1,x)')yy2=maple('P(2,x)')yy3=maple('P(3,x)')yy4=maple('P(4,x)')yy5=maple('P(5,x)')x=0:0.05:1;,一、勒让德多项式的常用性质：,yy0=subs(yy0,x);yy1=subs(yy1,x);yy2=subs(yy2,x);yy3=subs(yy3,x);yy4=subs(yy4,x);yy5=subs(yy5,x);subplot(122)plot(x',yy0,'b-+',x',yy1,'b--',... x',yy2,'b-.',x',yy3,'b--*',... x',yy4,'b-d',x',yy5,'b--o')axis([0 1 -0.7 1.2])xlabel('x')ylabel('P_l(x)'),一、勒让德多项式的常用性质：,title('前6个勒让德多项式的曲线')text(0.7,1.1,'P_0(x)')text(0.7,0.8,'P_1(x)')text(0.7,0.45,'P_2(x)')text(0.7,0.05,'P_3(x)')text(0.02,0.43,'P_4(x)')text(0.85,-0.35,'P_5(x)'),一、勒让德多项式的常用性质：,§9.3 柱贝塞尔方程,一、函数：,,,二、贝塞尔函数：,m阶柱贝塞尔方程,二、贝塞尔函数：,,二、贝塞尔函数：,∴ m阶柱贝塞尔方程的一个特解为：,二、贝塞尔函数：,m阶第一类贝塞尔函数,∴ 当s=-m时，m阶柱贝塞尔方程的另一个特解为：,二、贝塞尔函数：,二、贝塞尔函数：,二、贝塞尔函数：,二、贝塞尔函数：,二、贝塞尔函数：,二、贝塞尔函数：,MATLAB有5种计算贝塞尔函数的指令，计算指令 作用J=besselj(,z) 计算阶第一类贝塞尔函数 的值N=bessely(,z) 计算阶第二类贝塞尔函数 的值H=besselh(,k,z) 计算阶第一类汉开尔函数（k=1） 的值或阶第二类汉开尔函数（k=2） 的值I=besseli(,z) 计算阶第一类虚宗量贝塞尔函数 的值K=besselk(,z) 计算阶第二类虚宗量贝塞尔函数 的值,二、贝塞尔函数：,例题：绘出前四个第一类贝塞尔函数的曲线。
解：%Fig1d20.mclear allclose ally=besselj(0:3,(0:0.2:10)');figure(1)plot((0:0.2:10)',y(:,1),'b-',(0:0.2:10)',y(:,2),'b--*',... (0:0.2:10)',y(:,3),'r-.',(0:0.2:10)',y(:,4),'r--o')xlabel('x')ylabel('J_{\nu}(x)')title('贝塞尔函数J_{0,1,2,3}的图形')legend('J_0','J_1','J_2','J_3'),二、贝塞尔函数：,§9.4 施图姆——刘维尔本征值问题,一、施图姆——刘维尔本征值问题：,一般的二阶常微分方程可化成施图姆——刘维尔型方程：,§9.4 施图姆——刘维尔本征值问题,,施图姆——刘维尔本征值问题：,,,,一、施图姆——刘维尔本征值问题,,,,一、施图姆——刘维尔本征值问题,,。