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1、用几何画板制作分段函数图像许冬云 226006 南通师范高等学校摘要：本文主要介绍用几何画板制作分段函数图像的三种方法：代数构造法；几何构造法；内部函数构造法【 sqrt(x)函数构造法、abs(x)等其它方法】。关键词：分段函数 代数构造法 几何构造法 内部函数在日常生活中，许多场合都会出现使用分段函数考察问题的例子，如邮寄信函，个人所得税，出租车计费，宽带收费，电费（分时计费）等等。借助几何画板中相应的函数如开平方函数 sqrt(x)，符号函数 sgn(x)，绝对值函数 abs(x)，截断函数 trun(x)等即可制作出相应的分段函数。下面介绍常见的方法：法一：代数构造法分段函数形式为计算
2、例 1个人所得税问题（全日制普通高级中学教科书（必修）数学 P56/6）制作方法：（1）建立直角坐标系，标上原点 O 和单位 1 点；（2）画射线 OA，使得它与 X 轴的正半轴重合，并在其上任取一点 P； （3）计算 P 的横坐标 ，把标签改为 x，计算 到 ，（4）计算 ,本题中 ,其中依次表示。同时为了形式简洁些，对数据作了少量的化简，如 150010%=150 等。（5）以 为坐标画出点 Q；（6）同时选中点 P、Q，构造点 Q 的轨迹。见图一图一说明：为了表示的方便起见，横坐标的单位长度表示 100 元，图中的 依次表示点（8，0），（13，0）， ，（1008，0），它们对应的实际
3、数据分别为800，1300， ，100800 元。最后个人所得税 （元）。为了使计算精确些，把精度调整到万分之一。观察图象，发现在 （工资、薪金收入在 20800 元）处，图象变化特大，说明在该处是交税的一个转折点，可以通过计算来进行验证。如果不借助几何画板，很难发现这一点。一般人的工资、薪金收入，可以通过拖动点 P 很快显示出相应的个人所得税额。直观明了。2000 年高考题：拖动点 P（或用键盘上的左右方向键），显示如图二时可以判断结论为（C ）。图二例 2出租车计费问题某地的出租车按如下方法计费：起步价 10 元，可行 3km（不含 3km）；3km 到 7km按 1.6 元/km 计价（
4、不足 1km，按 1km 计算），7km 以后都按 2.4 元/km 计价（不足 1km，按 1km 计算），试写出以行车里程为自变量，车费为函数值的函数解析式，并画出这个函数的图象。构造分段函数表达式如下：制作方法：（1）建立直角坐标系，标上原点 O 和单位 1 点；（2）画射线 OA，使得它与 X 轴的正半轴重合，并在其上任取一点 D；（3）计算 D 的横坐标 ，把标签改为 X；（4）画点 ；（5）计算（6）以 为坐标画点 E，同时选中点 D，E，构造轨迹。显示如图三效果。如图三根据图像所示，可以初步估算自己乘车的方法。法二：几何构造法借助在不同范围上相应的几何对应关系构造分段函数的图像。
5、例 3四边形 OBCD 是正方形，边长为定值。点 P 自 B 沿边 BC、CD、DO 移动到 O，POB 的面积为 S，绘出 S 与 P 移动的距离 x 关系的图像（图四）。图四制作过程分析：先制作点 P 自 B 沿边 BC、CD、DO 移动到 O 的动画，同时POB 的位置也作相应变化；再制作 S 与 P 移动的距离 x 关系的分段函数图像.的制作过程：（1）画线段 OB，以 O 为旋转中心，把点 B 旋转 90度到 D，再以以 B 为旋转中心，把点 O 旋转90度到 C，连接相应线段得到正方形 OBCD；（2）在平面上任意画一点 P，依次选中点 P，B，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，
6、弹出对话框如图五所示，选“高速”，单击“确定”按钮；图五（3）单击按钮 ，则点 P 高速运动到 B；（4）单击点 B 处，屏幕左下方出现提示 ，再单击点 C，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”；单击“确定”按钮，单击按钮“从 PC 移动”；（5）单击点 C 处，屏幕左下方出现提示 ，再单击点 D，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”；单击“确定”按钮,单击按钮“从 PD 移动”；(6) 单击点 D 处，屏幕左下方出现提示 ，再单击点 O，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”；单击“确定”按钮,单击按钮“从 PO 移动”；(7) 单击按钮“从 PC 移动”，当点
7、P 还没移动到点 C 时，再次单击该按钮，同时选中点 P，B，C，构造“三角形内部”，再次同时选中这三点，构造“线段”；（8）依次选中按钮“从 PB 移动”, 按钮“从 PC 移动”, 按钮“从 PD 移动”, 按钮“从 PO 移动”,选择【编辑】【操作类按钮】【系列】，选“依序执行”，单击“确定”；单击按钮“序列 4 动作”，则点 P 自 B 沿边 BC、CD、DO 移动到 O 时，POB的位置也作相应变化。的制作过程：（1）在线段 BC 上任取点 Q，度量 QB 的长度，度量QOB 的面积，依次选中长度，面积，单击【图表】【绘制（ x,y）】,选中点 Q，构造轨迹；（2）在线段 CD 上任
8、取点 R，度量 RC 的长度，度量ROB 的面积，计算 RC+OB 的长度和，依次选中长度和，面积，单击【图表】【绘制（ x,y） 】,选中点 R，构造轨迹；（3）在线段 DO 上任取点 S，度量 SD 的长度，度量SOB 的面积，计算 SD+2*OB 的长度和，依次选中长度和，面积，单击【图表】【绘制（ x,y）】,选中点 S，构造轨迹；S 与 P 移动的距离 x 关系的分段函数图像制作完成。说明：如果要实现这样的效果：点 P 在移动时，相应轨迹上的点也在同步移动的话，可以按以下步骤实现： （1）画射线 BC，在其上截取一条长度为 3 倍 BC 的线段 BE，在平面上任画一点 T,依次选中点
9、 T,B，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“高速”，单击“确定”按钮；（2）运行按钮“从 TB 移动”；（3）依次选中点 T,E，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”，单击“确定”按钮；（4）运行按钮“从 TE 移动”;（5）依次选择按钮“从 TB 移动”，“从 TE 移动”，选择【编辑】【操作类按钮】【系列】，选“依序执行”，单击“确定”；产生按钮“序列 2 动作”；（6）选中按钮“序列 4 动作”, “序列 2 动作”, 选择【编辑】【操作类按钮】【系列】，选“同时执行”，单击“确定”，产生按钮“系列 2 个动作”，把它改名为“P 从 B 到 C 到 D 到 O”；单击该按
10、钮，就会出现同步移动效果。法三：“sqrt (x)”函数构造法借助函数 sqrt(x)的定义域要求 来制作相应的分段函数的图像。例 4求满足不等式 ， 的自变量范围。考虑到正弦函数的周期为 ，所以只要考察它在一个周期上的情况，即可迅速求出在 上的自变量范围。（1）【图表】【绘制新函数】，输入表达式 ，单击确定，即可画出如图六中用红色表示的图像；（2）右击图像，选择“属性”，出现如图五所示对话框，改变“范围”（输入 p 即可显示 ），本例中选择范围为 ，方便确定长度为一个周期 的区间；图六图七（3）单击 ， 的自变量集合，显示相应结果。说明：类似地把输入表达式改为 ，单击确定，即可画出如图六中用
11、蓝色表示的图像；从而很快得出相应的自变量集合。例五求 的单调区间。（1）【图表】【绘制新函数】，输入表达式，单击确定，即可画出如图八中用红色表示的单调增区间图像；（2）【图表】【绘制新函数】，输入表达式，单击确定，即可画出如图八中用蓝色表示的单调减区间图像；图八说明：上式 有意义，则相应的 x满足的范围是 ，考察长度为一个周期 的区间，推广到 上则单调增区间为 ,单调减区间为。类似可以考察余弦函数的单调区间。法四：其它方法借用“新建函数”命令，通过“运动控制台”制作相应分段函数。例六设函数应当怎样选择数 ，使得 成为在 内的连续函数。制作方法：（1）【图表】【新建参数】，出现如图九所示对话框，构造参数图九 图十（2）画射线 与 轴负半轴重合，并在其上任取点 ，计算其横坐标 ；（3）计算 ，画点 ；同时选中点 ，构造轨迹；（4）画射线 与 轴正半轴重合，并在其上任取点 ，计算其横坐标 ；（5）计算 ，画点 ；同时选中点 ，构造轨迹；（6）选中 ，【显示】【 显示运动控制台】，出现对话框如图十所示，单击运行按钮，可以动态观察何时图像连续，易得当 时，图像在 处连续如图十一所示。图十一对分段函数的构造方法还有许多，如直接用绝对值函数 abs(x)等，只要多思考，多积累，必将有丰厚的收获。
