《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、观察,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,（1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳.,（2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质.,知识目标,（1）掌握二项式系数的性质； （2）进一步认识组合数、组合数的性质.,能力目标,（1）使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，培养学生的探索精神和创新意识; （2）能运用函数观点分析处理二项式系数的性质,提高学生分析问题、发现问题、解决问题的能力,激发学生的学习兴趣.,结合 “
2、杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情,情感目标,通过探究提炼二项式系数的性质和讨论它的一些方法，如：赋值法 、递推法、图象法.,用函数的角度研究二项式系数的性质和对赋值法的灵活运用. 通过画出函数图象，数形结合地进行思考.,1、杨辉三角,南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家和教育家，杨辉一生编写的数学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官,到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题.,杨辉,本节课的课题二项式定理就是研究 （a+b）的平方,(a+b)的三次方 （a+b）的n次方的乘法展开式的规律， 法国数学家帕
3、斯卡在17世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实，我国数学家杨辉早在1261年在他的详解九章算法中就有了相应的图表.,九章算术,详解九章算法中记载的表,2、二项式系数性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,由以上分析可以画出如下图:,观察,结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.,知识要点,1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.,这一性质可直接由公式Cnm=Cnn-m 得到.,直线 将函数 的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴,知识要点,2.增减性与最大值,由于：,所以
4、 相对于 的增减情况由 决定,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.,可知，当 时，,当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值.,知识要点,3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cnrxr+Cnnxn令x=1，则 2n=Cn0+Cn1+Cnn,例题,证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,分析： 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+ 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+ 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两
5、个系数和.,证明： 在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +)-(Cn1+Cn3+),所以 Cn0+Cn2 += Cn1+Cn3+,即得证.,1.二项式系数的三条性质 （1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）.,2. 数学思想方法 （1）函数法; （2）特殊值法 ; （3）赋值法 、递推法、图象法.,3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项.,1. （2004年上海春季高考卷）如图，
6、在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为2:3 .,34,解析：,由图1我们能发现，第1行中的数是,第2行中的数是,第3行中的数是,则第n行中的数是,设第n行中从左到右第14与第15个数的比为,则,，解得,2.(2003年湖北)(1-x3)(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_(用数字作答).,解析：,(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+)， x4的系数为C104+(-1) C101=200.,200,3. （2003年成都)若nN且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+6-1被8除所得的
7、余数是(). (A)0 (B)2 (C)5 (D)7,原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n-1+8n-2-+8-1-2=8(8n-1-8n-2+)-3，余数为8-3=5.,C,(1)Cn1+Cn2+Cnn=_; C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_. (2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 _； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_ .,1.填空,（1） 的展开式中，无理项的个 数是（ ） A .83 B.84 C.85 D.86（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ） A.4032 B.-4032
8、C.126 D.-126,2.选择,3.解答题,（1）求(2x+3y)6的展开式的第三项.,解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160x4y2,（2）求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数.,解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知，展开式的第三项的二项式系数为C62=15，而展开式的第三项的系数为2160.,1. (1)当n是偶数时，最大值 ；当n是奇数时，最大值是 . (2)C111+C113+C1111=*211=1024. (3),2. 2n=Cn0+Cn1+Cnn Cn0+Cn2 += Cn1+Cn3+, Cn0+Cn2 += 2n-13.略.,
