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1、F万=F向=GMm/r2=(r=R地+h),要点一 人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系,名师支招： GM=gR2称为“黄金代换”，纯粹是四个常数G、M、g、R间的数值关系，因此在任何时候都能进行等量代换，不过一定要注意g和R的对应性，即g是离天体M球心R处的重力加速度值。,应用,越高越慢,mg=GMm/R2地(近地时)GM=gR2地(黄金代换)推广 GM行=g行表R2行 GM=g(h)(R+h)2,学案4 万有引力与航天,1.卫星的超重与失重 卫星发射过程中，卫星上的物体处于超重状态，卫星进入轨道后正常运转时，卫星具有的加速度等于轨道处的重力加速度g轨，卫星上的物体完全失
2、重，返回时，卫星减速运动，卫星上的物体处于超重状态。 2.卫星的能量 轨道半径越大，速度越小，动能越小，但重力势能越大，且总机械能也越大，也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。 3.卫星变轨问题 人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道。,要点二 与卫星相关的几个问题,4.同步卫星 同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星，因此可用来作为通讯卫星，同步卫星有以下几个特点： (1)周
3、期一定：同步卫星在赤道正上方相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T=24 h。 (2)角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。 (3)轨道一定： 因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。 由于所有同步卫星的周期相同，由 知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道上运动，其确定的高度约为3.6104 km。 (4)环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转相同。 5.几种卫星的轨道 (1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内。同步卫星就是其中的一
4、种。 (2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如定位卫星系统中的卫星轨道。 (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道。 一切卫星的轨道的圆心，与地心重合。,1.基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力完全由万有引力提供。 GMm/r2=mv2/r=m2r=m(2/T)2r=m(2f)2r 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析计算。 2.天体质量和密度的估算 方法一：利用万有引力定律计算被围绕天体(中心天体)的质量和密度。 如图4-4-1所示，某一行星m绕太阳M运转，其向心力是由太阳对行星的万有引力提供的，则有GMm/r2=m(42/T2)r 故M=4
5、2r3/(GT2)，而=M/(4/3r30)=3r3/(GT2r30)，其中r0为太阳的半径，r为行星的轨道半径，两者不可混淆。特别地，当r=r0(即贴近被测天体表面飞行)时，有=3/(GT2) 这给我们提供了测量未知天体密度的一种简便方法。 值得注意的是，用环绕天体(或卫星)的周期、轨道半径测质量的方法，只适用于测定其中心天体(即处于轨道中心处天体)的质量，不能测定在圆轨道上运行着的天体的质量。 方法二：利用重力与万有引力近似相等，估算天体的质量和密度。 对在天体表面上的物体有 mg=GMm/R2 式中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径，则M=gR2/G 相应地=M/(4/3R3)=3
6、g/(4GR) 卡文迪许就是利用这种方法第一次估算出地球的质量和平均密度的。,名师支招： 1.解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但其基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力。选择合适的表达式求解。 2.高考考查该类问题常结合一些自然现象、航天技术、地理知识、数学几何关系、双星模型等，着重考查学生的理解、推理、分析综合能力。,要点三 应用万有引力定律分析天体问题,图4-4-1,【例1】2009年高考浙江理综卷在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道 与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7107 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球
7、运行的轨道半径的400倍。关 于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( ) A.太阳引力远大于月球引力 B.太阳引力与月球引力相差不大 C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异,热点一 万有引力定律,【名师支招】本题考查万有引力定律在实际中的作用，正确理解定律内容并能应用公式计算，了解潮汐成因是解答本题的思路。,【解析】由万有引力定律F=GMm/R2可知，FM/R2，太阳与月球对相同质量海水的引力之比F太阳/F月球=1.687 5102，故A对；月球与不同区域海水的距离不同，故吸引力大小有差异，D对。,A D,一探月卫星在地月转移轨道上
8、运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4:1。已知地球与月球的质量之比约为81:1，则该处到地心与到月心的距离之比约为_。,1,9:2,【例2】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星， 观测到它的自转周期为T=130 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该 星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常量 G=6.6710-11 Nm2/kg2),热点二 测天体的质量和密度,【名师支招】求天体的质量或密度的问题有两种情况。 (1)已知天体表面的重力加速度g和半径R，利用g=GM/R2，得出M=gR2/G。 (
9、2)围绕天体做圆周运动的卫星(或行星)，利用GMm/r2=m(42/T2)r，可得中心天体的质量M=42r3/(GT2)。,【解析】设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有 GMm/R2=m2R，=2/T，M=4/3R3 由以上各式得=3/(GT2)， 代入数据解得：=1.271014 kg/m3。,【答案】1.271014 kg/m3,2,2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese 581c。这颗围绕红矮星Gliese 581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为2光年，
10、直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese 581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确的是( )A.飞船在Gliese 581c表面附近运行的周期约为13天B.飞船在Gliese 581c表面附近运行时的速度大于7.9 km/sC.人在Gliese 581c上所受重力比在地球上所受重力大D.Gliese 581c的平均密度比地球平均密度小,B C,【例3】土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离 分别为rA=8.0104 km和rB1.2105 km。忽略所有岩石颗粒间
11、的相互作用。(结果可用根式表示) (1)求岩石颗粒A和B的线速度之比； (2)求岩石颗粒A和B的周期之比； (3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星中心3.2105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地 球的半径为6.4103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？,【名师支招】解决卫星运动问题最基本的公式是万有引力充当向心力，即GMm/r2=mv2/r=mr2=mr(42/T2)=G重，在解题时根据题目中的条件合理选择公式，能使求解简单。,【答案】(1) (2) (3) 95,【解析】(1)设土星的质量为M0，颗粒的质量为m，颗粒距土星中心的距离为r，线速度
12、为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 GM0m/r2mv2/r 解得v= 对于A、B两颗粒分别有 vA= 和vB= ，得 vA/vB= (2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，则 T=2r/v 对于A、B两颗粒分别有 TA=2rA/vA和TB=2rB/vB 得TA/TB= (3)设地球的质量为M，地球的半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心的距离r03.2105 km处的引力为G0，根据万有引力定律 G0=Gm0M/r02 G0Gm0M0/r02 由得M0/M=95倍。,热点三 人造卫星、宇宙速度,3,如图4-4-2是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方 成反比D.在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球 的引力,
