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1、2017/12/13,1,第四节 差分与等距节点newton插值, 5.5.1、差分及其性质, 5.5.2、等距节点插值公式, 5.5.3、例题分析,2017/12/13,2,在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。,分析差商的形式，引入差分概念,h=x k+1 -xk, k=0,1,2,n-1,一、差分及其性质,2017/12/13,3,定义5.5.1.,一阶中心差分,2017/12/13,4,依此类推,2017/12/13,5,差 分,2017/12/13,6,引入下列常用算子符号：,并称I为恒等算子，E为移位算子，各算子之间如下
2、关系,故,同理,2017/12/13,7,差分的性质,性质5.5 常数的差分等于零,性质5.6 函数值可以表示各阶差分,2017/12/13,8,2017/12/13,9,性质5.7,2017/12/13,10,性质5.8,2017/12/13,11,差分与导数的关系：,2017/12/13,12,2017/12/13,13,差分表,2017/12/13,14,5.5.2、Newton插值公式,由差商与向前差分的关系,Newton插值基本公式为,如果假设,1.Newton向前(差分)插值公式,计算x0点附近的值,2017/12/13,15,则插值公式,化为,2017/12/13,16,此公式为
3、牛顿向前插值公式，其余项为,2017/12/13,17,类似有牛顿向后插值公式,等距节点插值公式,2017/12/13,18,等距节点插值公式:牛顿向前插值公式、牛顿向后插值公式。,2017/12/13,19,例1 分别作出 f(x)=x2+x+1 的前差和后差表。 解: 前差表见表47; 后差表见表48,表 47,三、例题分析,2017/12/13,20,表 48,2017/12/13,21,例2 给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891的近似值。 解： 作差分表49。,表 4,2017/12/13,22,利用牛顿前差公式,2017/12/13,23,利用牛顿后差公式,2017/12/13,24,为使用牛顿插值公式，先构造差分表.,例3,解,根据题意，插值条件为,2017/12/13,25,(注意：表中带下划线的数据为 点的各阶向前差分，双下划线为 点的各阶向后差分 .),2017/12/13,26,取,则,用表2-4上半部的各阶向前差分，得,2017/12/13,27,由余项公式（4.11）得误差估计,其中,2017/12/13,28,于是,计算 应使用牛顿向后插值公式，,用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得,这里,2017/12/13,29,其中,由余项公式（4.13）得误差估计,
