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1、第五章 线性系统的频域分析法,5.1 引言5.2 频率特性5.3 典型环节和开环频率特性曲线的绘制5.4 频率域稳定判据5.5 稳定裕度5.6 闭环系统的频域性能指标,5.1 引言,时域法是分析和设计控制系统的直接方法，它的主要优点是：1）直观、容易理解。借助于MATLAB仿真，可以直接得到系统的时域响应曲线，以及各种时域指标。2）典型二阶系统的参数与系统性能指标的关系明确。当系统的闭环零、极点满足二阶近似条件时，可用主导极点对应的典型二阶系统的指标来近似估计高阶系统的技术指标。,1.时域分析法的优缺点,但是时域法存在着一些不足之处。 1）时域分析是在典型信号的激励下进行的，而实际信号不可能是
2、理想的典型信号，往往包含着一些不希望的成分，比如高频干扰信号。时域分析没有描述系统对高频干扰信号的抑制能力。 2）系统的时域设计是通过增加开环零、极点来重新配置系统的闭环主导极点，这对于串联校正是方便的，但对于其他校正方法就不那么方便，比如反馈校正（第六章将会看到）。,3）时域分析和设计需要精确的根轨迹图，在没有MATLAB之前，精确的根轨迹绘制并不是一件容易的事，而概略图只能用于定性分析，而不能用于定量分析。因此，精确根轨迹的绘制困难大大影响了系统的设计效率。,4）时域法中稳定裕量用距虚轴最近的闭环极点离虚轴的距离来表示，这种表示只能说明稳定性，不包含系统动态特性的任何信息。,5）延迟系统的
3、开环传递函数包含延迟环节，其闭环特征方程是超越方程，不能用劳斯判据判断稳定性，也不能用MATLAB绘制根轨迹，系统分析很困难。,6） 对于高阶系统，如果不能用二阶近似分析，则没有任何参数可以反映系统的动态性能，在这种情况下，设计高阶系统没有依据，只能反复试探、调整。,频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。,频域法很好地弥补了时域法的不足，并且因其使用方便、适用范围广且数学模型容易获得而得到了广泛的应用。,频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的研究自动控制系统的一种经典
4、工程实用方法。是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。,2.频域分析法研究的意义,频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域分析法和根轨迹法是统一的。,频域分析法的优点,(1)不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少。(2)系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定，这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实
5、际意义。,(3)频域分析法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。,(4)便于系统分析和校正。根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，便于分析和校正。,5.2 频率特性,一、频率特性的基本概念,其中：T=RC,设,1.频率特性的定义,经拉氏反变换，可得,瞬态分量,稳态分量,稳态输出：,Uo-稳态输出幅值,j -稳态输出相位,正弦输入与稳态输出之间： 频率相同；幅值不同；相位不同。,-幅频特性,幅频特性曲线,幅频特性：,稳态输出与输入的振幅之比。,输出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一
6、定衰减，相位存在一定延迟。,-相频特性,相频特性曲线,相频特性：,稳态输出与输入正弦信号的相位差。,系统传函：,频率特性(幅相特性)：,将G(jw)写成复数形式：,-实频特性,-虚频特性,幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间的关系：,2.频率特性与传递函数的关系,一般线性定常系统：,若：,则：,则：,若系统稳定，则极点都在s左半平面。当t，即稳态时：,其中kc、k-c分别为：,频率特性与传递函数的关系为：,频率特性的求取,一般用这两种方法,1.已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；2.根椐传递函数来求取；3.通过实验测得。,频率特性与其它数学模型的
7、关系,频率响应法与时域法的不同点：1）输入是正弦函数；2）只研究系统稳态分量(而非过渡过程)中，幅值、相角随 w变化的规律。,例1:设单位反馈控制系统的开环函数为 ，若输入信号为： ，试求(1)稳态输出css(t) (2)稳态误差ess(t)?,解:(1),稳态输出：,(2),稳态误差：,1.极坐标图,当w：0时，向量G(jw )的幅值|G(jw )|和相角j(w)随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图或Nyqusit图。,G(jw2 ),G(jw1 ),-幅相频率特性曲线、 Nyqusit曲线,P(w ) 、A(w )是w的偶函数，Q(w ) 、j(w )是w的奇函数，因此
8、，w：0-时，G(-jw )与G(jw )关于实轴对称。,二、 频率特性的几何表示法,一般作图方法,(1)手工绘制 取w =0和w =两点，必要时还应在0w 之间选取一些特殊点，算出这些点处的幅值和相角，然后在幅相平面上作出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。(2)用计算机绘制,2.伯德图,-对数频率特性曲线、Bode曲线,伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，都以频率为横轴变量。,(1)伯德图的坐标,横坐标分度：,横坐标采用不均匀的对数刻度纵坐标采用线性刻度,半对数坐标,以频率w 的对数值lgw 进行线性分度，但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是非线性刻度。,Dec(十
9、倍频程)：w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度。,纵坐标分度：,对数幅频特性曲线,L(w)-对数幅值,L(w)=20lgA(w),相频特性曲线,单位：分贝(dB),单位：度(o)或弧度,(2)使用对数坐标图的优点,由于横坐标采用对数刻度，展宽了低频段，压缩了高频段（可以在较大的频段范围内表示系统频率特性）；,可以将乘法运算转化为加法运算；,所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示；,对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。,(3)关于Bode图的几点说明,由于横坐标采用w 的对数刻度，所以w =0不可能在横坐标上表示出
10、来；,横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。,3.对数幅相曲线,-尼科尔斯图、尼科尔斯曲线,以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐标为幅值，单位采用分贝。,5.3 典型环节和开环频率特性曲线的绘制,一、典型环节的频率特性,1. 比例环节,极坐标图,cleark=10;num=k;den=1;sys=tf(num,den)nyquist(sys),Matlab 绘制Nyquist图,注意：是一个点，不是一条线,L(w)=20lgK=常数,伯德图,K不同时：幅频曲线上下平移，相频曲线不变。,freq_k_bode.m,cleark=10;num=k;den=1;sys=tf(
11、num,den)bode(sys)grid,Matlab 绘制Bode图,2.惯性环节,(1)极坐标图,整理得：,证明 的幅相特性是半圆。,(2)伯德图,对数幅频特性,-转折频率(交接频率),相频特性,高频渐近线斜率为-20dB/Dec,低频渐近线为0dB的水平线,伯德图,高频渐近线斜率：,幅频特性渐近线误差,(3)一阶微分,极坐标图,-转折频率,伯德图,高频渐近线斜率为20dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：,低频渐近线为0dB的水平线,伯德图,注意：一阶微分环节的对数频率特性是惯性环节对数频率特性的负值，即一阶微分环节的对数幅频特性和对数相频特性分别与惯性环节的对数幅频特性及对数相频特
12、性对称于横轴。,传递函数互为倒数的典型环节 最小相位典型环节中，积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，即设 ，则可知，传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于 线对称。对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对数频率特性曲线的对称性同样成立。,3.积分环节,(1)极坐标图,(2)伯德图,一条斜率为-20dB/Dec的直线,4.微分环节,(1)纯微分环节,极坐标图,伯德图,一条斜率为20dB/Dec的直线,5.振荡环节,( 00 ),显然， 相频特性曲线从 单调至 。当 时， ，此时 ，表明振荡环节与虚轴的交点为
13、 。,取 ， 得谐振频率与谐振峰值 因为 时， 。 不同阻尼比 情况下，振荡环节的幅相曲线和对数频率特性曲线分别如图所示，其中 。,无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的，当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。,(1)极坐标图,(2)伯德图,w=1/T -转折频率,低频渐近线为0dB的水平线,高频渐近线斜率为-40dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：,伯德图,渐近线误差,可见：在0.40.7时，工程上可直接使用渐近对数幅频特性；在此范围之外，应使用准确的对数幅频特性。,(2)二阶微分,极坐标图,-转折频率,伯德图,高频渐近线斜率为40dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：
14、,低频渐近线为0dB的水平线,伯德图,惯性环节,一阶微分环节,传递函数互为倒数的典型环节,对数幅频特性曲线关于0dB线对称；相频特性曲线关于0o线对称。,纯微分环节,积分环节,振荡环节,二阶微分,6.非最小相位环节,(1)比例环节：,(2)惯性环节：,(3)一阶微分环节：,(4)振荡环节：,(5)二阶微分环节：,除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。,非最小相位的惯性环节,最小相位的惯性环节,非最小相位的惯性环节,对数幅频特性曲线相同；相频特性曲线关于0o线对称。,1.开环系统极坐标图的绘制(绘制奈氏图),手工画法 将开环系统的频率特性写成A(w)
15、ejj(w)或P(w)+jQ(w)的形式，根据不同的w算出A(w)、j(w)或P(w)、Q(w)，可在复平面上得到不同的点并连之，则可绘出系统的开环幅相频率特性曲线。 需注意一些特殊点，如起点、终点，与实、虚轴的交点等。使用MATLAB工具绘制,二、开环系统频率特性的绘制,开环幅相曲线的绘制方法 开环幅相曲线可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相曲线。这里着重介绍结合工程需要，绘制概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率特性的三个重要因素： （1）确定开环幅相曲线的起点 和终点 ；（2）确定开环幅相曲线与实轴的交点 或 为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为 （3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。,例5-1:设0型系统的开环传递函数为： ， 试绘制系统的开环幅相频率特性(奈氏图)。,
