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1、2011年第6期 中学数学教学 21 在高考中备受青睐的阿波罗尼斯圆 江西省吉安市永新县永新二中 龙太春 (邮编：343400) 1 问题的提出与分析 在今年5月份高三的一次模拟考试中，有这 样一道填空题： 在等腰AABC中，AB AC，BD是腰AC的中线， 且BD一 ，则S舳 的最大 值是 本题旨在考查三角形面积公式、余弦定理以 及函数思想，下面给出它的一般解法 解法一 如图，设ADDC=7rl，则AB一 2m，根据面积公式得 s 仙c一丢衄ACsinA 一妻2m2m ， 根据余弦定理得 AB。+AD 一BD。4m。+ 。一3 cO A一 一 一5 。一3 一 所以，s加c一-9m4 -30
2、mz-一9 二9( 2一号) + 6 一 一 易知当 2：_薹_时，SABc的最大值为2 评注 此法利用余弦定理解三角形，全面了 命题者为什么会认为例1中的三棱柱是直 三棱柱呢?我想，原因在于底面是正三角形这个 条件命题者包括众多的考生把此条件误认为此 三棱柱的俯视图为正三角形其实满足例1条件 的三棱柱(如例3)的俯视图可以如上图5所示 2 错题更正 弄清楚了例题1的错误原因，更正此题就非 常容易 方案一：加上俯视图或侧视图 若加俯视图，题目变为：若一个俯视图是正 三角形的三棱柱的正视图如图6所示，则其侧面 积等于( ) A B2 c2 D6 图6 图7 若加侧视图，题目变为：若一个三棱柱的的
3、 正视图与侧视图如上图6和图7所示，则其侧面 积等于( ) A B2 C2 D6 若按以上更正，则此三棱柱为正三棱柱，其 侧面积为6，即为给出的参考答案 方案二：改成计算体积 题目为：若一个底面是正三角形的三棱柱的 正视图如图6所示，则其体积等于( ) A B2 c2 D6 此时不管三棱柱是正棱柱还是斜棱柱，其底 面是边长为2的正三角形，高为I，其体积为：V一 A2。1一3，故选A 士 高考涉及到千千万万个考生的命运，直接关 系到考生的前途2005年的福建理科卷曾出现过 一道错题(理科12题)(可参阅福建厦门市禾山中 学的钟玉兰老师在2007年中学理科：高考导航 第二期题目为“一道高考错题的深
4、度分析”一 文)，而事隔5年后又在高考文理卷中均出现一道 错题，这是否应引起我们命题者的深思!我们今 后应如何尽量避免此类事情的发生呢? (收稿日期：20111016) 22 中学数学教学 2011年第6期 解ABC的各元素，属常规解法并且此法处理 技巧是把角化成边那么把边化成角是否也可解 呢?经过一番思考，得到如下解法 解法二 (三角函数) 设ADDCm，则AB一2m，由cosA一 ，所以S仙。一告ABACsinA一 2 2 sinA一 ，考虑 一一号 的几何意义 c。sA一号 因为 表 cOsA一昔 示过圆37 + 一1上点 (cosA，sinA) 和 点 ( 5，o)的直线的斜率走 如图
5、1，易知当直线与圆 l P 5霹 ： 图1 相切时，直线的斜率志最小，即是 i 一一，则 S 。的最大值为2 受解法二的影响，就想能不能建立直角坐标 系，用解析几何的方法来解呢? 经分析，发现在AABD中，边BD确定，为定 值3，而另两边AB与AD成比例，即AB一 2AD，那么顶点A的轨迹不就是一个圆吗，脑子 里一下就联想起阿波罗尼斯圆下面先来介绍一 下阿波罗尼斯圆的定义： 椭 A2盖B P A 相异两点 、，设 点在同 一 一l-A 一平面上且满足两一A， 图2 当 0且 1时，P点的轨迹是个圆，这个圆 我们称作阿波罗尼斯圆这个结论称作阿波罗尼 解法三 以BD中点0为原点，BD所在直 线为
6、轴，建立如图3所示的直角坐标系，设 A( )，B(一 ，o)，D( 2，o)，则AB一2AD， 即( + )。 一4 一 2) q_y2，整理得 (z一 ) 4- 。一 4 有y l ， 3 所以SABc=：2S仙D BDl y I2， 当J l= 时取等号 3 S c最大值为2 I 1、 B 图3 评注 此种建坐标系方式关注AABD中， 恒有AB一2AD，符合阿波罗尼斯轨迹定理 2 问题的源与流 事实上，通过这道题可以产生联想，这道题 是来源于2008年江苏卷的第13题 满足条件AB：2，AC一2BC的三角形ABC 面积的最大值 在此条件下，都存在这样 一个三角形，一边确定，另两边长成比例，
7、解决起 来都可用解法三的解析法这也显示两题有相同 的背景：阿波罗尼斯圆 解 如图4，以AB 的中点为坐标原点，以 AB所在直线为z轴，建立 直角坐标系，则A(一1， 0)，B(1，0)设C(z， )， 由AC一2BC，则 ， c 7 A o B 图4 ( +1) +y。一2( 一1)。+y ， 整理得( 一3)。+ 一8， 所以点C的轨迹为一个圆，即当点C位于圆 的最高处时，S仙c最大，即z一3时，Y一22， 1 一 一 s c一去22222 厶 评注 由上观之，可知该调研题实由2008 年江苏卷的第13题改编而来的 实际上，以阿波罗尼斯圆为背景的考题在最 近十年高考中不断出现过，可以说备受命
8、题人的 青睐，笔者做了番统计，依次如下： 考题1 (1999年全国卷)设A(一3，0)， B(3，O)为两定点，动点P到点A的距离与到点B 距离为定比1：2，则P点的轨迹图形所围得的面 积是 考题2 (2003年春季北京卷)设A(一c，O)， B(f，0)(fO)为两定点，动点P到点A的距离 2011年第6期 中学数学教学 23 向量法证明线面垂直的商榷 新疆乌鲁木齐兵团二中 司永斌 (邮编：830002) 直线与平面垂直的判定定理：如果直线z垂 直于平面a内的两条相交直线口、b，则z垂直于 传统的证明方法是利用镜面反射，构造全等 三角形此法不易想到，过程复杂，于是很多人提 出了不同的证法，其
9、中有一种利用向量证明的方 法，过程如下： 在平面n内任取直线f，因为直线n、b相交， 由平面向量基本定理，存在惟一的实数 ， ，可 使c： la+ 2b从而lcl( 1n十灭2b)一 1 Zn+,12 Zb又因为，上口，Z_l-b，所以Za zb=0，于是Zc一0，z上C再由直线垂直于平 面的定义可知Z上a 此法一般被公认为较简洁的证法，很多老师 在课堂上也用过，还有人将此法视为线面垂直的 新证、巧证，写成文章见诸某些杂志，如文1，文 E2，文E3等等，这种证法难道还有问题吗? 事实上，上述证法中用到了空间向量数量积 的分配律，即空间向量口，b，c满足口(b+c)一n b+nC，很少有人关注在
10、文r-4第9O页中提及 的问题“证明空间向量数量积的分配律与证明平 面向量数量积的分配律有何不同?” D 图1 0 图2 当n，b，c共面时，如图1证明简单(详见文5)， 而当口，b，C不共面时，如图2，必然要将C平移转化， 此处必然要利用线面垂直的判定定理：由CT_lI ， CH_l_OA推出OA上HF，从而上述利用向量证明 线面垂直的方法犯了循环论证的错误 参考文献 1 陈永才线面垂直的判定定理的新证法EJ中学数 学，2003，7 2 周淦利线面垂直判定定理的向量证明EJ中学数学 杂志(高中)，2004，6 3 高辉直线与平面判定定理新i-EJ中学生数学，2003，4 4 普通高中课程标准
11、实验教科书选修21EM人民教 育出版社，2007，2 5 普通高中课程标准实验教科书必修4 J-M人民教育 出版社，2004，5 (收稿日期：20110922) 与到点B距离的为定值n( 0)，求尸点的轨迹 方程及图形 考题3(2005年江苏卷)圆0l与圆 的半径 都是1，o1024，过动点P分别作圆01、 的切线 PAd、PN(M、N分别为切点)，使得PM一f2PN试 建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程 考题4(2006年四川卷)已知两定点 A(一2，0)，B(1，0)，如果动点P满足 I一 2 I PlB J，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 A丁 B4丁c C8了c D9丁c 运用同样的方法，我们能解答上述这些高考 题，解法略 3 问题之后的反思 高考题的出现对数学的教研是否具有一定 的导向作用呢?或者说，高考题以某个知识点为 背景频频出题，是偶然的巧合吗?值得我们思考 的问题太多了 (1)注重基础是亘古不变的主题 (2)抓基本能力决不放松 (3)在高三复习时，教师应对高考题目进行 变式教学和开展命题编制工作，这样才能将问题 教活，以不变应万变，最终做到把数学的科研形 态转变为教学的教育形态 (收稿日期：20110920)
