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1、第四讲 函数的综合应用,1.(2013南通模拟)关于x的不等式(2ax-1)ln x0对任意x(0,+)恒成立，则实数a的值为_.,【解析】当01时，ln x0，依题意知：2ax-10，所以a ，而 ,所以a .当x=1时，aR.综上可知：a= .答案：,2.(2013新课标全国卷改编)已知函数f(x)= 若|f(x)|ax，则a的取值范围是_.,【解析】画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示，当x0时，g(x)=|f(x)|=x2-2x，g(x)=2x-2，g(0)=-2，故a-2.当x0时，g(x)=|f(x)|=ln(x+1)，g(x)=由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于等于a
2、，所以a0，综上-2a0.答案：-2a0,3.(2013德州模拟)已知f(x)=xex，g(x)=-(x+1)2+a，若 x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_.,【解析】因为f(x)=xex，所以f(x)=ex+xex=(1+x)ex，当x-1时，f(x)0,函数为增函数；当x-1时，f(x) 0，函数为减函数，所以当x=-1时，f(x)取得极小值，即最小值f(-1)=函数g(x)的最大值为a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a 答案：a,4.(2013徐州模拟)不等式2x- -a0在1,2内有实数解
3、，则实数a的取值范围是_.【解析】由不等式2x- -a0得：a0，所以,函数y=2x- 在1，2上为增函数，其最大值为22- =3,依题意可知：a小于y=2x- (1x2)的最大值即可，所以a(-,3).答案：(-,3),5.(2013济宁模拟)已知函数f(x)=设F(x)=f(x+4)，且函数F(x)的零点均在区间a,b(ab，a,bZ)内，则圆x2+y2=b-a的面积的最小值是_.,【解析】函数的导数为f(x)=显然当x-1时，1+x2 0130,1+x0,即f(x)0;当x0.所以f(x)在定义域上为增函数.因为f(-1)=所以x-1时，f(x)0，又f(0)=1，所以在(-1,0)上函
4、数有且只有一个零点，,即F(x)=f(x+4)在(-5，-4)上有且只有一个零点，即a=-5，b=-4，所以b-a=1，所以圆的半径为1，所以圆x2+y2=b-a的面积的最小值是.答案：,6.(2013东莞模拟)设函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间0，1上单调递增，在区间(-,0),(1,+)上单调递减，又(1)求f(x)的解析式.(2)若在区间0,m(m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围.,【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c,由已知f(0)=f(1)=0,即 解得所以f(x)=3ax2-3ax,所以所以a=-2,b=3,所以f(x)=-2x3+3x2.,(2)令f(x)
5、x,即-2x3+3x2-x0,所以x(2x-1)(x-1)0,所以0x 或x1.又f(x)x在区间0,m上恒成立，所以0-2时，F(x)0，即F(x)在(-2,+)上单调递增，而F(-2)=0,故当且仅当x-2时，F(x)0恒成立，即f(x)kg(x).()若ke2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0,得0e,所以h(x)在(e,+)上单调递减.所以h(x)max=h(e)= ,所以a .,(3)由(2)知h(x)= 在(e,+)上单调递减，所以当xe时，h(x)h(x+1),即所以(x+1)ln xxln(x+1),所以ln xx+1ln(x+1)x,所以xx+1(x+
6、1)x,令x=2 012,得 .,【方法总结】利用导数证明不等式的步骤(1)依据待证不等式的特征、变量的取值范围及不等式的性质，将待证不等式化简.(2)依据不等式构造函数.(3)利用导数研究函数的单调性，求其最值.(4)依据单调性及最值，得到待证不等式.,【变式训练】(2013天津高考)已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)证明:对任意的t0,存在唯一的s,使t=f(s).(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当te2时,有,【解题提示】(1)求出函数f(x)=x2ln x的导数，利用导数确定函数f(x)的单调区间.(2)利用(1)的结论，
7、首先确定t0时，对应函数f(x)的定义域为(1,+)，然后根据函数f(x)的单调性证明.(3)承接(2)通过换元法及函数的单调性进行证明.,【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f(x)=0,得x= 列表如下：所以函数f(x)的单调减区间是(0, ),单调增区间是,(2)当00,令h(x)=f(x)t,x(1,+).由(1)知,h(x)在区间1,+内单调递增.h(1)=t0.故存在唯一的s(1,+),使t=f(s)成立.,(3)因为s=g(t),由(2)知t=f(s),且s1,从而其中u=ln s.要使 成立,只需当te2时,若s=
8、g(t)e,则由f(s)的单调性知,t=f(s)f(e)=e2,矛盾.所以se,即u1,从而ln u0成立.,另一方面，令F(u)=ln u ,u1.F(u)=令F(u)=0,得u=2,当10;当u2时，F(u)1，F(u)F(2)e2时,有,热点考向 3 利用导数解决与方程的解有关的问题【典例3】已知f(x)=x2+3x+1,g(x)=(1)a=2时，求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数.(2)a为何值时，y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个.,【解题探究】(1)函数y=f(x)与函数y=g(x)的公共点个数与函数y=f(x)-g(x)的零点个数有何关系？提示：相等(2)求函数
9、y=f(x)-g(x)的零点个数的步骤用x来表示a，即：a=_；依据函数的极值确定零点个数.,x3+x2-x,【解析】(1)当a=2时，联立得x2+3x+1= +x，整理得x3+x2-x-2=0(x1),令(x)=x3+x2-x-2(x1),则(x)=3x2+2x-1,令(x)=0，解得x1=-1,x2=得到极值点分别在x=-1和x= 处，且极大值、极小值都是负值，大致图象如图1，故交点只有一个.所以y=f(x)与y=g(x)的公共点有1个.,(2)联立 得x2+3x+1= 整理得a=x3+x2-x(x1),令h(x)=x3+x2-x(x1)，对h(x)求导可以得到极值点分别在x=-1和x= 处，画出草图2,h(-1)=1,h( )=当a=h(-1)=1时,y=a与y=h(x)仅有一个公共点(因为(1，1)点不在y=h(x)曲线上)，故 时恰有两个公共点.,
