4--实对称矩阵

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,实对称矩阵 的特征值和特征向量,主要内容：1. 向量的内积2. 正交向量组3. 正交矩阵4. 实对称阵的对角化,实对称阵的特征值和特征向量 实对称阵的对角化,定理 实对称矩阵的特征值都是实数。,证略,问：特征向量是实向量吗？,是。,定理,证,定理,A 为实对称矩阵，则存在正交阵 Q , 使得,注：实对称矩阵一定可对角化。,证略。,实对称矩阵的对角化步骤：,3 依次将正交化、单位化的 n 个特征向量作为 Q 的列向量，Q 为所求正交矩阵。,问：可否将n 个特征向量全求出后再正交化、单位化？,可以，但是没必要。因不同特征值对应的特征向量本来就是相互正交的。,例 设,求正交矩阵Q，使 为对角矩阵。,解,对应的齐次线性方程组为:,基础解系为:,将 正交化：,单位化：,(10EA)X=0的同解方程组为:,基础解系为:,单位化,令,则 Q 为正交矩阵，且：,习题,例,解,例,实对称矩阵A 与 B 的特征多项式相等，证明：存在正交矩阵 T ，使得,证,A 与B 的特征多项式相等，故A,B有相同的特征值：,A，B为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P,Q 使得：,因而 T 为正交矩阵。,#,