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1、2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,1,最优化理论与算法,帅天平北京邮电大学数学系,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,2,提纲,1. 线性规划 对偶定理2. 非线性规划 K-K-T 定理3. 组合最优化 算法设计技巧,使用教材：最优化理论与算法 陈宝林参考书 ：数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,3,其他参考书目,Nonlinear Programming - Theory and AlgorithmsMokhtar S. Bazaraa, C. M.
2、ShettyJohn Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006),Linear and Nonlinear Programming David G. LuenbergerAddison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2003.,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,4,Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, In
3、c., 1977.,运筹学基础手册徐光辉、刘彦佩、程侃科学出版社，1999,组合最优化算法和复杂性 Combinatorial Optimization 蔡茂诚、刘振宏 Algorithms and Complexity 清华大学出版社，1988 Printice-Hall Inc.,1982/1998,其他参考书目,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,5,1,绪论-学科概述,最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学.达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法-最优化方法(算法)这种方法的数学理论即为最优化理论.是运筹学的
4、方法论之一.是其重要组成部分.,运筹学的“三个代表”模型理论算法,最优化首先是一种理念,其次才是一种方法.,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,6,绪论-运筹学（Operations Research - OR）,运筹学方法,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,7,优化树,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,8,最优化的发展历程,费马:1638;牛顿,1670,欧拉,1755,Min f(x1 x2 xn ) f(x)=0,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,9,欧拉
5、，拉格朗日：无穷维问题，变分学柯西：最早应用最速下降法,拉格朗日，1797,Min f(x1 x2 xn)s.t. gk (x1 x2 xn )=0, k=1,2,m,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,10,1930年代，康托诺维奇：线性规划1940年代，Dantzig：单纯形方法， 冯 诺依曼：对策论1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理； KKT条件；1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook
6、等复杂性理论，组合优化迅速发展,电子计算机-最优化,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,11,最优化应用举例,具有广泛的实用性运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等工程设计，结构设计等资源分配，生产计划等通信：光网络、无线网络，ad hoc 等.制造业：钢铁生产，车间调度等医药生产，化工处理等电子工程，集成电路VLSI etc.排版（TEX,Latex,etc.）,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,12,1. 食谱问题,我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。,需要确定每天喝奶和吃蛋
7、的量，目标以便以最低可能的花费购买这些食物，而满足最低限度的维生素需求量。,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,13,1. 食谱问题（续）,令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写成如下的数学形式：,运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用（或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。求最优安排或计划的问题，称作programming问题。,Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40 3x + 2y 50 x, y 0.,极小化目标函数可行区域（单纯形）可行解,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP
8、SHUAI,14,2 运输问题,设某种物资有m个产地A1,A2,Am,各产地的产量是a1,a2,am;有 n个销地B1,B2,Bn.各销地的销量是b1,b2,bn.假定从产地Ai(i=1,2,m)到销地Bj(j=1,2,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运这些物品才能使总运费最小？,如果运输问题的总产量等于总销量，即有,则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平衡问题。,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,15,令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡问题的数学模型为：,2 运输问题（续）,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI
9、,TP SHUAI,16,以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,n股票i的现价是pi你预期一年后股票的价格为ri 在出售股票时需要支付的税金=资本收益30%扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多支付1%的交易费用例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以每股50元的价格出售，则净现金为：50 1000-0.3(50-30)1000-0.150 1000=39000,3 税下投资问题,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,17,我们的目标是要使预期收益最大。Xi：当前抛出股票i的数量。,3 税下投资问题（续）,2017/12/10,最优化理论TP
10、SHUAI,TP SHUAI,18,4 选址问题（1）,实例:一组潜在位置（地址）, 一组顾客集合及相应的 利润和费用数据； 解: 设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客 被哪个设施服务的具体安排方案；目标：总的利润最大化。,数据与约束J=1,2,n:放置设施的可能的潜在位置集合I=1,2,m:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,19,4 选址问题（2）,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,20,4选址问题（3）,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,
11、21,5负载平衡(1),实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合s,d0，表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量解: s,d0的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。目标:极小化网络负载,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,22,5 负载平衡(2),2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,23,6.结构设计问题,两杆桁架的最优设计问题。由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为，弹性模量为E，屈吸强度为。求在桁
12、架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,24,6.结构设计问题,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,25,6.结构设计问题,此应力要求小于材料的屈吸极限，即,解：桁杆的截面积为 ：,桁杆的总重量为：,负载2p在每个杆上的分力为：,于是杆截面的应力为：,圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为,由此得稳定约束：,6.结构设计问题,另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：,6.结构设计问题,2017/12/1
13、0,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,28,基本概念,在上述例子中,有的目标函数和约束函数都是线性的,称之为线性规划问题,而有的模型中含有非线性函数,称之为非线性规划.在线性与非线性规划中,满足约束条件的点称为可行点,全体可行点组成的集合称为可行集或可行域.如果一个问题的可行域是整个空间,则称此问题为无约束问题.,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,29,基本概念,最优化问题可写成如下形式:,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,30,基本概念,Df 1. 1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x), x S的最优解（整体最优解）,则称x0为极小化问题min f(x),x S的局部最优解,Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，,2017/12/10,最优化理论TP SHUAI,TP SHUAI,31,Thank you very much for your attendance!,优化软件 http:/www-neos.mcs.anl.gov/ http:/neos.mcs.anl.gov/neos/solvers/index.html,
