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1、2013 海淀高三二模数学理科 第 1 页 共 10 页海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合 ， ，则|(1)20AxB0xABA B C D(,0,1,)2.已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为naq34a81aqA B C 或 D 或32233. 如图，在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ，则图形 面积的估计值为,mnA. B. C. D. manna2a2nam4.某
2、空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A. B.180240C. D.27635.在四边形 中， “ ，使得 ”是“四边形ABCDR,ABDCB 为平ABCD行四边形”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，且 5 不排在百位，2，4 都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. B. C. D.62487.双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该抛物线的一个交点为C12,F224yxC，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为A12F
3、ACA. B. C. D.213238. 若数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 为周期数列，周期naTnnTana为 . 已知数列 满足 ，Tna1(0)m1, 1=0.nna，66主5 2013 海淀高三二模数学理科 第 2 页 共 10 页则下列结论中错误的是A. 若 ，则 可以取 3 个不同的值 34amB. 若 ，则数列 是周期为 的数列2naC. 且 ，存在 ， 是周期为 的数列T*N1nTD. 且 ，数列 是周期数列Qm2na二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.在极坐标系中，极点到直线 的距离为_. cos210.已知 ，则
4、 按照从大到小排列为_.121ln,si,2ab,ab11.直线 过点 且倾斜角为 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线 与直线 的交点坐标为1l(,0)302l(,0)1l1l2l_.12.在 中， ，则ABC,45,Ba_;bC_.ABS13.正方体 的棱长为 ，若动点 在线段 上运动，则 的取值范围是1D1P1DAP_.14.在平面直角坐标系中，动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 的距离，记点 的轨迹为曲线(,)Pxy (1,). W(I) 给出下列三个结论：曲线 关于原点对称；曲线 关于直线 对称； yx曲线 与 轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ；12其中，所有正
5、确结论的序号是_; ()曲线 上的点到原点距离的最小值为_.W三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）已知函数 .cos2()1in()4xfx（）求函数 的定义域；()f2013 海淀高三二模数学理科 第 3 页 共 10 页() 求函数 的单调递增区间.()fx16.（本小题满分 13 分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为 50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元，50 元和150 元三种；（3
6、）顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概率为 ，获得 50 元奖金的概率为 .p2%(I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求 的取值范围 .p17. （本小题满分 14 分）如图 1，在直角梯形 中， ， ， ，ABCD90AB30C2B. 把 沿对角线 折起到 的位置, 如图 2 所示,使得点 在平面 上的正投影 恰好4ADPPACH落在线段 上，连接 ,点 分别为线段 的中点 PEF(I) 求证：平面 平面 ；/HB(II)求直线 与平面 所成角的正弦值；(III)在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点的距
7、离相等？请说明理由.PAM,PHAF18.（本小题满分 13 分）已知函数 ,点 为一定点,直线 分别与函数 的图象和 轴交于点 , ,记()exf(0)Aa()xta()fxxMN的面积为 .AMNSt（I）当 时 ,求函数 的单调区间；0a()t（II）当 时, 若 ,使得 , 求实数 的取值范围.2020()eStaCDBA主1 H E C P B A F 图 2 2013 海淀高三二模数学理科 第 4 页 共 10 页19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 的菱形的四个顶点.:M21(0)xyab 60（I）求椭圆 的方程；（II）直线 与椭圆
8、 交于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，求lABAB1(,)2AOB（ 为原点）面积的最大值.O20.（本小题满分 13 分）设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或Amnmn该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. () 数表 如表 1 所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可） ；表 1() 数表 如表 2 所示，若必须经过两次“操作” ，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为A非负整数，求整数 的所有可能值；a()对由 个实数组
9、成的 行 列的任意一个数表 ，mnmnA能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表 2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 1 2 3 71 0 1221aa2013 海淀高三二模数学理科 第 5 页 共 10 页海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理）20135参考答案 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C B C A B D 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分）9
10、2；10 ；11. ；12 ；13 ；14 ;cba(1,3)312， 0,三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15 （本小题满分 13 分）解：（I）因为 所以 2 分sin()04x,4xkZ所以函数的定义域为 4 分 |+,（II）因为 6 分22cosin()1xfx8 分= +(si)=1sin()4x又 的单调递增区间为 ，sinyx(2,2kZk令 解得 11 分24k344x又注意到+,x所以 的单调递增区间为 ， 13 分()f3(2,)4kZk16. 解：（I）设至少一张中奖为事件 A则 4 分2()10.57PA(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为
11、则 可以取 6 分5,04,1的分布列为 412013 海淀高三二模数学理科 第 6 页 共 10 页P50%2p%p8 分所以 的期望为0(52)(452(145)E p11 分2.914p所以当 时，即 12 分1.6450p8725所以当 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业13 分807217.解：（I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上PABCHAC所以 平面 ，所以 1 分HP因为在直角梯形 中， ， ，D90B30，2BC4A所以 ， ，所以 是等边三角形，60BAC所以 是 中点， 2 分H所以 3 分/EP同理可证 F又 ,CBP所以 平面 5 分/EH（II）在平
12、面 内过 作 的垂线 AA如图建立空间直角坐标系，则 ， ， 6 分(0,2)(0,23)P(,10)B因为 ，,13E,HE设平面 的法向量为 B(,)nxyz因为 ，(3,10),023P所以有 ，即 ，Hnxyz令 则 所以 8 分3,x,y(3,0)n10 分cos, 4|2EnH所以直线 与平面 所成角的正弦值为 11 分PB3FzyxHECPBA2013 海淀高三二模数学理科 第 7 页 共 10 页(III)存在，事实上记点 为 即可 12 分EM因为在直角三角形 中， ， 13 分 PHA12PEA在直角三角形 中，点B4,FB所以点 到四个点 的距离相等 14 分E,OC18.解: (I) 因为 ，其中 2 分1()|e2tStata当 ， ，其中0a|t0t当 时， ， ，t1()e2tSt1()e2tS所以 ，所以 在 上递增， 4 分 t,当 时， ， ，0t1()e2tSt1()e2
