《湖北省高中数学竞赛(预赛)训练试题(六)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省高中数学竞赛(预赛)训练试题(六)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 7 页 金太阳新课标资源网 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）姓名： 班级 ： 分数 ： 一、填空题（本题满分 56 分，每小题 7 分。 ）1已知复数 满足 ，则 m12092081m2设 ， ，则 的值域为 cosin3cos21)(xxf 4,6)(xf3设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 中最大anS0,1615S1521,aS的是 4已知 O 是锐角ABC 的外心， ，若 ，且,ACBACyBxO，则 5102yxACcos5已知正方体 的棱长为 1，O 为底面 ABCD 的中心，M ，N 分别1DB是棱 A1D1 和 CC
2、1 的中点则四面体 的体积为 MNB6设 ，且 ， ，则符合条6,5432,C2,ACB4,3件的 共有 组 （注： 顺序不同视为不同组 ）),(BC7设 ，则 的最小值为 xxxy csecottancosin|y8设 p 是给定的正偶数，集合 的所有元素的,3,2|1NmAppp和是 二、解答题（本题满分 64 分，第 9 题 14 分，第 10 题 15 分，第 11 题 15 分，第 12题 20 分。 ）9设数列 满足 ， ，其中)0(na21a )(212nmnmaamn,N（1）证明：对一切 ，有 ；N12nn（2）证明： 12092aa金太阳新课标资源网 第 2 页 共 7
3、页 金太阳新课标资源网 10求不定方程 的正整数解的组数215364321 xxx11已知抛物线 C： 与直线 l： 没有公共点，设点 P 为直线 l 上的21xy1kxy动点，过 P 作抛物线 C 的两条切线， A，B 为切点(1)证明：直线 AB 恒过定点 Q；12设 为正实数，且 证明：dcba, 4dcba222 )(金太阳新课标资源网 第 3 页 共 7 页 金太阳新课标资源网 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）参考答案一、填空题（本题满分 56 分，每小题 7 分。 ）1已知复数 满足 ，则 0 m12092081m2设 ， ，则 的值域为cosin3cos21
4、)(xxf 4,6)(xf3,43设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 中最大anS0,1615S1521,aS的是 8Sa4已知 O 是锐角ABC 的外心， ，若 ，且10,6ACBACyBxO，则 5102yxACcos135已知正方体 的棱长为 1，O 为底面 ABCD 的中心，M ，N 分别1DB是棱 A1D1 和 CC1 的中点则四面体 的体积为 MNB7486设 ，且 ， ，则符合条6,5432,C2,1ACB,3件的 共有 1600 组 （注： 顺序不同视为不同组 ）),(BC,7设 ，则 的最小值为xxxy csecottancosin|y218设 p 是给定的正偶数，集合
5、 的所有元素的,3,2|1NmxxAppp和是 21二、解答题（本题满分 64 分，第 9 题 14 分，第 10 题 15 分，第 11 题 15 分，第 12题 20 分。 ）金太阳新课标资源网 第 4 页 共 7 页 金太阳新课标资源网 9设数列 满足 ， ，其中)0(na21a )(212nmnmaamn,N（1）证明：对一切 ，有 ；N12nn（2）证明： 12092aa证明 （1）在已知关系式 中，令 ，可得)(212nmnma n；0a令 ，可得nam242令 ，可得m)(1242nn a由得 ， ， ，)(412an 61)2(42na，an2代入，化简得 -7 分212n
6、na（2）由 ，得 ，故数列a 2)()(11nna是首项为 ，公差为 2 的等差数列，因此 1na01 于是 nkkkn na1101 )1(0)()(因为 ，所以)()(nan120)1209()312()(112092 -14 分10求不定方程 的正整数解的组数564321 xxx解 令 ， ， ，则 321 y5z1,23zy先考虑不定方程 满足 的正整数解1zyx 1,23x金太阳新课标资源网 第 5 页 共 7 页 金太阳新课标资源网 ， ， -5 分1,23zyx12325yxz 2z当 时，有 ，此方程满足 的正整数解为z6x,)4,(7),10(),yx当 时，有 ，此方
7、程满足 的正整数解为 2z13yx2,3yx )2,5(,yx所以不定方程 满足 的正整数解为25z1z -10 分),5(),4,7(),0(),(zyx又方程 的正整数解的组数为 ，方程3321 xNx 21xCyx54的正整数解的组数为 ，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解),(xNy1Cy的组数为 -15816930C1241321269 分11已知抛物线 C： 与直线 l： 没有公共点，设点 P 为直线 l 上的2xykxy动点，过 P 作抛物线 C 的两条切线， A，B 为切点(1)证明：直线 AB 恒过定点 Q；(2)若点 P 与（1）中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于
8、M，N 两点，证明：QNM证明 (1)设 ，则 1(,)Axy21x由 得 ，所以 2y1|x于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 ，即 )(11xy1yx设 ，则有 )1,(0kxP00xk设 ，同理有 2By2yx所以 AB 的方程为 ，即 ，k00 0)1(0ykx所以直线 AB 恒过定点 -7 分)1,(Q(2)PQ 的方程为 ，与抛物线方程 联立，消去 y，得02kxy2xy金太阳新课标资源网 第 6 页 共 7 页 金太阳新课标资源网 02)(42020 kxkx设 ， ，则),(3yxM),(4yNkxxk0243043 )(,2要证 ，只需证明 ，即QNP4304302
9、)(2343 kxxkx由知，式左边= 0002 4)()( kxkx)(2)4)(002 kx故式成立，从而结论成立 -15 分12设 为正实数，且 证明：dcba, 4dcba222 )(证明 因为 ，要证原不等式成立，等价于证明4dcba -5 分dcbac222 )(4事实上， )(22 dcbadcba)2()2()()(22 dac-10 分22 11dacdbcab由柯西不等式知金太阳新课标资源网 第 7 页 共 7 页 金太阳新课标资源网 2222()()()() )abcdabcd-15 分2|)|(|又由 知| abdcb22)(4|)|(| badca 由，可知式成立，从而原不等式成立 -20分
