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1、大学自主招生数学试题 第 1 页 共 96 页交通大学 2000 年保送生数学试题一、选择题(本题共 15 分，每小题 3 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则 31998 天之后是 ( )A星期四 B星期三 C星期二 D星期一2用 13 个字母 A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN” 一词的概率是 ( )A B C D4813!2163!17283!813!3方程 cos2xsin2x+sinxm+1 有实数解，则实数 m 的取值范围是 ( )A
2、Bm 3 Cm 1 D m4若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q0 的两个根，则此数列各项的积是( )Ap m Bp 2m Cq m Dq 2m5设 f (x0)2，则 ( )00()()lihfxfhA2 B2 C4 D4二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）1设 f(x)的原函数是 ，则 _1x0()fxd2设 ，则函数( 的最小值是_0,22221sincos)ix3方程 的解 x_68536xx4向量 在向量 上的投影 _2aij4bij()ba5函数 的单调增加区间是_3yx6两个等差数列 200，203，206，和 50，54，58都有 10
3、0 项，它们共同的项的个数是_7方程 7x2(k+13)x+k2k20 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则 k 的取值范围是_8将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题 61 分）1(6 分) 已知正数列 a1，a 2，a n，且对大于 1 的 n 有 ， 123na 121na试证：a 1，a 2，a n 中至少有一个小于 12(10 分) 设 3 次多项式 f(x)满足： f(x+2) f(x)，f(0) 1， f(3)4，试求 f(x)大学自主招生数学
4、试题 第 2 页 共 96 页3(8 分) 求极限 12lim(0)ppnn4(10 分) 设 在 x0 处可导，且原点到 f(x)中直线的距离为 ，原点到 f(x)中曲2,()xbcflm 13线部分的最短距离为 3，试求 b，c，l，m 的值(b,c 0)5(8 分) 证明不等式： ， 341sincos2x0,x6(8 分) 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 若射手甲先射，谁先命中12目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率7(11 分) 如图所示，设曲线 上的点与 x 轴上的点顺次构1y成等腰直角三角形 OB1A1， A1B2A2，直角顶点在曲线上试求 An
5、 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积1yx之和是否存在OyxB1A2A1B2大学自主招生数学试题 第 3 页 共 96 页复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题 10 分，共 60 分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n 组含 n 个数，即1；2，3；4，5，6；令 an 为第 n 组数之和，则 an_2 _22sini()si()333 _222lm)log1log(log4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60 度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60 度角，则两对角面面积之比为_5正实数 x,
6、y 满足关系式 x2xy40，又若 x1，则 y 的最小值为_6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题 15 分，共 90 分）1数列a n适合递推式 an+1 3an+4，又 a11，求数列前 n 项和 Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于 ，12ar
7、csin(326)求该棱锥的体积( )1cos(6244设 z1,z2,z3,z4 是复平面上单位圆上的四点，若 z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形大学自主招生数学试题 第 4 页 共 96 页5设 ，其中 xn,yn 为整数，求 n时， 的极限(12)2nnxy nxy6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论大学自主招生数学试题 第 5 页 共 96 页2000 年交大联读班试题1. 直线 关于 的对称直线为_。yaxbyx2. 已知 是 的三边， ， ，且满足 ，则,cABC1abclogl2loglbccb
8、bcbaa是_的三角形。A3. 已知 ，则 _。871031xax 864204. 已知 满足： ，则 的最小正周期是_。ffffx5. 已知 是偶函数， 是奇函数，且 ，则 _。fx2fx0198f20f6. 是 的三边，且 ，则,abcABC:4:56bcab_。sin:si7. 是十进制的数， 是 的各个数字之和，则使 成立的最小的 是fn20fnn_。8. _。7sini12cos9. 函数 的反函数是_。332211fxxxR10. 已知数列 （ 是不等于 1 的常数） ，则 _。nak123naa11. 从自然数 1 至 100 中任取 2 个相乘，其结果是 3 的倍数的情况有种_
9、。 （取出的数不分先后）12. 己知 在 处可导，则 _。fx0200limhfxhfx13. 已知 为整数， 为非负整数， ，则整点 的个数为_。,ynyn,y14. 抛物线 上，点 坐标为 ，抛物线在 点的切线与 轴及直线 夹角相20xA1,03PyPA等，求点 P 的坐标。15. 在 中， ， ，求证： 求 。na1416na13nnalimna16. 已知 ， ，2uyxvy若点 在单位圆上以 为起点按顺时针方向转一圈，求点 的轨迹；,0, ,uv大学自主招生数学试题 第 6 页 共 96 页若点 在直线 上运动，而点 在过点 的直线上运动，求 ， 的值。,xyaxb,uv1, ab1
10、7. 若 满足 ，求下列函数的最小值： ； ；,223120yyxy。3xy18. 若方程 有 3 个不同实根，求实数 的取值范围。270xmm19. 己知函数 满足 ，又 ，求函数 的解析式。ffyfxfyxy01ffx20. 口袋中有 4 个白球，2 个黄球，一次摸 2 个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第 次两n个黄球都被摸出，即第 次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是 ，求1n P。23,nP大学自主招生数学试题 第 7 页 共 96 页2001 复旦基地班数学试题1. 设函数 的反函数是它自身，则常数 _。xyaa2. 不等式 的解集是_。22loglogx3. 直
11、线 与 间的距离是_。2780xy760y4. 如果 的展开式的系数和是 的展开式的系数和的 512 倍，那么自然数 与 的关3n1m nm系为_。5. 椭圆 的焦距是_。42cos6. 己知 ，那么 的最小值为_。350xy2213xy7. 与正实轴夹角为 的直线的斜率记为 ，则 _。 （结果用数arsin3karctnk值表示）8. 从 个人中选出 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少 1 名且名额不限，则nm共有_种选法 。9. 正方体 中， 与截面 所成的角为_。1ABCD1BC1D10. _。 （结果用数值表示）sec50ot11. 函数 的最小正周期是（ ）3sc2gx
12、xA B C2 D1212. 设函数 的反函数为 ，则对于 内的所有 值，一定成立的是（ ）ff0,1xA B C D1x1x1ff1fxf13. 除以 9 所得的余数是（ ）138A6 B C8 D114. 抛物线 的准线方程为（ ）24yxA B C D13x4x15. 由参数方程 所表示的曲线是（ ）tytA椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆大学自主招生数学试题 第 8 页 共 96 页16. 己知抛物线 与 关于点 对称，则 的值为（ ）25yx2yaxbc3,2abcA1 B2 C3 D417. 作坐标平移，使原坐标下的点 ，在新坐标下为 ，则 在新坐标下的方程为（ ,00,byfx）A B C Dyfxabyfxafabf18. 设有四个命题：两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 是平面 外的两条直线，且 ，则 是 的必要而不充分条件，其中真命题的个数,ab/a/b/是（ ）A3 B2 C1 D019. 集合 各有四个元素， 有一个元素， ，集合 含有三个元素，且其中至少,ABCABC有一个 的元素，符合上述条件的集合 的个数是（ ）A55 B52 C34 D35
