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1、第一章,1.1概述一概念 随着计算机软、硬件的发展与应用，各种新的现代设计方法越来越得到发展，机械最优化设计就是产品的设计方法之一。现在各行各业都应用优化方法与概念解决实际问题。特别是机电产品设计（包括零件、部件、产品）。最优化设计是人们在工程技术、科学研究和经济管理等诸多领域中经常遇到的问题。如：,最优化设计的目的： 机械设计师追求其设计的方案是 尺寸最小（材料消耗最少或重量最轻） 成本最低（ 运输、资源分配、安排生产等） 性能最好（零件、部件、产品）每一产品设计、制造过程中，都含有很多因素如何优化。因此，最优化理论和技术必将在社会的诸多方面起着越来越大的作用。,目前国内外设计方法常规设计：
2、用人工手算几种方法选其较好者计算机辅助优化设计：用近代的优化数学方法 和理论编制计算机程序，用计算机辅助计算千万种方案，有规律最速得其最优方案。国际情况：先进国家以采用后种方法为主国内情况：两种方法并行，但趋向国际情况，目前国内大型企业（如汽车、航空、航天和科研院所）均采用计算机辅助优化设计,2、最优化设计工作包含内容 （1）将设计问题的物理模型转化为数学模型，建立数学模型时要选取设计变量、列出目标函数，给出约束条件，目标函数是设计问题所要求的最优化指标与设计变量之间的函数关系式。（2）采用最适当的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件（例如约束条件）下求目标函数的极值或最优化值问题。
3、,二、最优化设计数学模型中的基本概念,1、设计变量：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数（变量） 如结构的总体尺寸、零件的几何尺寸、物理特性等A:表示 N维设计变量可表示为X,例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9kg、3个工时、4kw电，可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg、有300个工时、能供200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。,选择设计变量:分别以生产甲乙两种产品数为,2目标函数：设计中预期要达到的目标如（重量最轻、或尺寸最小，性能最好等） 目标函
4、数应表示为各设计变量的函数a单目标函数:最优化问题仅有一个单目标函数b多目标函数：在同一设计中有多个目标函数 对于多目标函数可以独立地列出几个目标函 数式C综合目标函数：把几个目标函数综合到一起,3约束条件：在设计中对设计变量取值的限制条件（1）边界约束或区域约束（2）性能约束（3）显约束和隐约束（4）约束的表达式形式：按表达式约束分为等式和不等式约束,4数学模型：,首先把工程问题用数学方法来描述，建立一个数学模型。机械优化设计的数学模型已模式化了，可写成：,最优方案,最优值,例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9kg、3个工时、4kw电，可获利60元。生产乙种产品每件需要
5、用材料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg、有300个工时、能供200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。,5连续变量6离散变量7约束优化与非约束优化8线性优化与非线性优化例要用薄钢板制造一体积为 的货箱,由于运输装卸要求其长度不小于4m,问为了使耗费的钢板最少并减轻重量,应如何选取货箱的长、宽、和高？解：,9可行域与可行设计点非可行域与非可行设计点例如：,将约束函数值为零时所得的曲线所包围的图形，在此图形内取点为可行设计点，在图形外取点为非可行设计点。既满足约束条件所形成的图形内取点。10 局部最优和全局最优 目标函数不是单峰函
6、数时，有若干个极小点 对应有函数值称为局部最优解，其中函数值最小的点称为全域最优解,直接搜索法：通过函数值的计算和比较，确定搜索的方向和步长。如：黄金分割法、二次插值、复合形法等。 间接搜索法：利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵确定搜索方向和步长。如梯度法、牛顿法等。,最优化设计的任务：一是找到最优解，二是如何提高求优过程的效率。,对n维的非线性目标函数，用常规的解法求极值，往往是很困难的。有效的办法使用迭代算法。,1.2优化设计中的迭代计算方法,特点：按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算，寻求函数值不断下降的设计点，直到最后获得足够精度的近似解时就截断计算。一、迭代过程:从一个选定的初始点X出发
7、,沿某种优化方法所规定的方向S,确定适当的步长a.产生一个新的设计点. 满足 a-第k步迭代计算的步长,二、迭代计算的终止条件 1.点距准则: 相邻两迭代点之间的距离已达到充分小既：,2.函数下降量准则:相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小：分为两种情况：如果F(X(k+1)1 用函数绝对下降量准则,如果F(X(k+1)1可采用相对下降量来判断。判别式：,3.梯度准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小 既：,三、变量的坐标变换 原因：变量间的数值大小相差极大，无法用统一步长寻优，为此采用坐标变换便于寻优的统一步长。设计变量的标准化处理，是将设计变量值用变量区间内的相对坐标来表示，将设计变量
8、的真实值化为变量区间的相对值，使变量的变化范围均在01区间内。,第二章 一维优化方法,对于一维目标函数 f ( x ),寻找它的最优点x 和最优值 x （k+1)= x （k ) + （k ) S （k ) S-方向矢量：由某种优化方法规定 -步长 min f （ x （k+1) ） = f （x （k ) + （k ) S （k ) ）1. 确定搜索区间2.求最优步长 ，使目标函数达到最小。, 2.1 初始搜索区间的确定,有两种方法：进退法 外推法进退法：分为三步a. 试探计算 初选一个初始点 和初始步长 前进点并计算函数值 f（x 1）= y1 f（x2）= y2（1）当y2 y1时，则极
9、小点必在x 1左方，应再做后退运算,b. y2 y1 (前进计算）令 并前进步长倍增如（给定，让=2）计算第三个前进点（新点 ）x 3 = x 2+h x 3 = x 2+h0 = （ x 1 + h0 ）+2h0 = x 1 +3 h0计算 f（x 3）= y3比较f（x 3）， f（x 2）既比较y2 ，y3的大小此时又有两种情况：,（1） y2 y3 则应继续做前进计算，对各点作如下置换：并再次将前进步长倍增， 计算新点及其函数值 x 3 = x 2+h f（x 3）= y3重复上述过程，直到函数出现大小大的情况为止。,C. y2 y1 (后退运算） 若在步骤（2）中， y2 y1 ，则
10、应做后退运算，将步长改变为负值 h （h0）置换点号使它自右向左反向排列。,再将后退步长加倍计算第三后退点（新点）及其函数值 x 3 = x 2+h f（x 3）= y3比较函数值f（x 3）， f（x 2）既比较y2 ，y3的大小此时又有两种情况,例：试用进退法确定函数的一维优化初始搜索区间a ， b初始点x 1 =0，初始进退距h 0 =1,2.2 格点法,格点法是一种思路极为简单的一维求优法设函数f(x)的初始搜索区间a ， b，在此区间内取n个内等分点x 1，x 2 x n ，并计算函数值y 1，y 2 y n 并比较取出最小y m=min（y i i=1，2n)并取x m左右两相邻点x m-1 ，x m+1 为新区间判断x m+1-x m-1精度值 , 成立则: x m x* y m y* 不成立(x m-1 ，x m+1 )作为新的初始区间继续进行.,速度取决于区间缩短率区间缩短率=新区间/旧区间格点法每次区间缩短时取内分点数为n则入=2/(n+1)N越多,入越小，区间缩短越快，但计算次数越多,例题：用格点法求一维目标函数的最优解已知：初始区间a ， b= 1 ，2.2 精度为0.2 内分点 n = 4,
