第2章一元微分学初步

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1、计算机数学基础,授课教师：林四海联系方式：TEL： Q Q： 254639066,13850094922,第2章 一元微分学初步,本章主要内容,2.1 函 数,本节内容2.1.1 函数的概念 2.1.2 复合函数与初等函数,区间与邻域数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。 显然，数集是关于数的集合。 常用的数集及其代号是：自然数集N （包括0和所有正整数） 、整数集Z、有理数集Q和实数集R。 其中，涉及最多的是实数集R。区间是R的一个连续子集。 例如：a,bx|axb 、(a,b)x|axb 、(,)R,2.1.1 函数的概念,为点 的邻域，记作 ；点 和数分别称为,设 与是两个实数，且

2、0，数集 称,这个邻域的中心和半径。,数集 称为点 的空心邻域，记作 。,邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。,邻域,定义1-1 设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如 果对于每一个数xD，变量y按照某种对应法则有 惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 yf (x)并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量， f 是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域， 也可以记作D(f )，数集 Wy|yf (x), xD为函数的值域，也可以记作 Rf 或 f (D)。,函数,表示函数的方法有解析法（也称公式法）、图像法、表格法等等。,还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。含有一个自变

3、量的函数称为一元函数。含有多个自变量的函数称为多元函数。,对于自变量x取定义域中某一定值x0，函数yf (x)的,相应值叫做当xx0时的函数值。通常用记号f (x0)，,或 ，或 ，或 y(x0) 等表示。,函数的定义域,函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。判断函数有意义的方法有下列几种：,分式的分母不等于零；,偶次方根式中，被开方式大于等于零；,含有对数的式子，真数式大于零；,反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；,练习：求下列函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,定义1-2 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果存在 正数

4、M，使得对任意的x，均有 | f (x) | M则称函数yf(x)在区间I内是有界的。M为yf (x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称 函数yf (x)在区间I内是无界的。有界函数的图像在区间I内被限制在yM和yM 两条直线之间。,函数的性质,1、有界性,2、奇偶性,奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于 y 轴对称。 学过的函数中，奇函数有yx、ysinx、ytanx等， 偶函数有yx2、ycosx等。 而y2x和ylgx既不是奇函数，也不是偶函数。 研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。,定义1-4

5、设函数yf (x)的定义域为D。如果存在常数 T0，使得对任一 ，都有 ，且等式 一定成立；则称函数yf (x)是周期函数，T 称为该 函数的周期。,周期函数的周期通常是指它的最小正周期。例如，ysin x和ytan x都是周期函数， 前者的周期是2，后者的周期是。,3、周期性,定义1-5 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果对 任意的 ，且 x1x2 时，均有 f (x1)f (x2) 则称函数yf (x)在区间I内是单调增加的。 如果在同样条件下恒有 f (x1)f (x2) 则称函数yf(x)在区间I内是单调减少的。 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。,4、单调性,定义1-6

6、设函数yf (x)的定义域为D，值域为Rf 。若对 每一个 ，都有惟一确定的 满足f (x)y， 那么就可以把y作为自变量，而x是y的函数。 这个新的函数称为yf (x)的反函数，记作 yf 1(x) 这个函数的定义域为Rf ，值域为D。 相应地，函数yf (x)称为直接函数。,反函数,显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个坐标系中，则它们的图形是关于直线 yx 为对称的。,例 求 ylog3(2x3) 的反函数。,若函数yf (x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少，则它在该区间上必定存在反函数。,实际上，并不是任何函数都有反函数的。那么，什么样的函数存在反函数呢？,解：

7、从方程 ylog3(2x3) 中解出x为,则所求反函数为,常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数6类是最常见、最基本的函数，这些函 数称为基本初等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。 复合函数对于函数ysinx，如果令xt ，并将它代入 ysinx ，就可以得到函数ysint 。 可以看成由ysinx和xt复合而成。,2.1.2 复合函数与初等函数,定义1-7 设函数yf (u)的定义域是D1，函数u(x)的 定义域是D2，当x在的定义域D2或其中一部分取值时， u(x)的函数值均在yf (u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值，通过u有确定的值y与之对应，从而

8、可以 得到一个以x为自变量， y为因变量的函数，这个函数 称为由函数yf(u)及u(x)复合而成的复合函数，记作 yf (x) 而u称为中间变量。,复合函数,复合函数的复合过程u(x) yf (u) yf (x),中间变量,关于复合函数，需要说明一点： 不是任何两个函数都可以复合成一个函数的。例如，y=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是8,+)，不在 函数y=arcsinu的定义域内。因此，求复合函数的定义域时，要考虑构成复合函数的所有基本初等函数都有意义。,例 指出下列各函数的复合过程（1）T ln(tan) （2）（3） （4）,解：

9、,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 、 和 复合而成的,初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。 例如， y sin3x 、 u sin(x) （、是常数） 都是初等函数。凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数，含有绝对值 符号的函数一般也不是初等函数。,2.2 极 限,本节内容2.2.1 数列的极限 2.2.2 函数的极限 2.2.3 无穷小量与无穷大量2.2.4 极限的计算2.2.5 函数的连续性,研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积

10、分学中最基本的概念，后面将要介绍的函数的连续性、导数、 定积分等概念都要以极限为基础。两千多年前，我国古人就有了初步的极限概念。公元263年， 我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边 形、正12边形、正24边形、正48边形、的面积，他算出 的圆周率是3.14（3072边形 ），这已经是很好的近似值了，非常 了不起。,数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。 无穷数列 x1, x2, xn,（常简记为xn）可以看作自 变量为正整数n的函数，即xnf (n) 。因此，数列的 极限是一类特殊函数的极限。定义1-9 对数列xn ，如果当n无限增大时， xn无限接 近一个常数a ，那

11、么a 就称为数列xn的极限，或称数 列xn收敛于a ，记为,2.2.1 数列的极限,或 xna(n),如果数列没有极限，就说数列是发散的。如果一个数列有极限，则此极限是惟一的。 定义1-9中“如果当n无限增大时，数列xn无限接 近一个常数a”的实质是：随着n的无限增大，xn与 常数a的距离| xn a|可以任意小，即要多小都可以 有多小（不排除数列的某些项取常数a的可能）。,例 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限， 对于收敛的数列指出其极限：（1）1,2,3,n, （2）（3）1,1,1,(1)n1, （4）（5）,解：将上述数列逐项在数轴上表示出来，如下列图所示 （1）1,2,3,n,

12、（2）（3）1,1,1,(1)n1,（4）（5）,1、自变量趋向无穷大时函数的极限 对函数 ，当|x|无限增大时，对应的函数值y 无限接近常数0（参看右图）， 这时就称 以0为极限。,2.2.2 函数的极限,定义1-10 设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x ）时，函数 f (x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限，记为,如果 不存在，则函数f (x)当x时没有极限。,或 f (x) A (x),定义1-10中“如果当|x|无限增大（即x）时， 函数f (x)无限接近某个常数A”的实质是：随着 x 的绝对值的无限增大，函数f(x)与常数A的距离 |f(x)A|可以任意小，即要多小都可以有多小 （不排除f (x)取常数A的可能）。,如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值， 即有称函数f (x)当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。,或,对于函数 ，其图像如下图所示。 由于 ，并且 两个极限相等，从而,