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1、1,4.5 等价关系与偏序关系,等价关系的定义与实例等价类及其性质商集与集合的划分等价关系与划分的一一对应偏序关系偏序集与哈斯图偏序集中的特定元素,2,等价关系的定义与实例,定义 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若R, 称 x 等价于y, 记做 xy.,实例 设 A=1,2,8, 如下定义A上的关系 R： R = | x,yAxy(mod 3) 其中 xy(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的余数与 y 除以3的余数相等.,3,等价关系的验证,验证模 3 相等关系 R 为 A
2、上的等价关系, 因为 xA, 有x x(mod 3) x, yA, 若 x y(mod 3), 则有 y x(mod 3) x, y, zA, 若x y(mod 3), y z(mod 3), 则有 xz(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证,4,A上模3等价关系的关系图,设 A=1,2,8, R= | x,yAxy(mod 3) ,5,等价类,定义 设R为非空集合A上的等价关系, xA，令xR = y | yAxRy 称 xR 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简记为x.,实例 A= 1, 2, , 8 上模 3 等价关系的等价类： 1=4=7=1,4,7 2=5=8
3、=2,5,8 3=6=3,6,6,等价类的性质,定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则 (1) xA, x 是A的非空子集. (2) x, yA, 如果 x R y, 则 x=y. (3) x, yA, 如果 x y, 则 x与y不交. (4) x | xA=A，即所有等价类的并集就是A.,7,实例,A= 1, 2, , 8 上模 3 等价关系的等价类： 1=4=7=1,4,7， 2=5=8=2,5,8， 3=6=3,6 以上3 类两两不交， 1,4,72,5,83,6 = 1,2, ,8,8,商集,定义 设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,
4、记做A/R, A/R = xR | xA ,实例 A=1,2,8,A关于模3等价关系R的商集为 A/R = 1,4,7, 2,5,8, 3,6 A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = 1,2, ,8 A/EA = 1, 2, ,8 ,9,集合的划分,定义 设A为非空集合, 若A的子集族(P(A) 满足下面条件： (1) (2) xy (x,yxyxy=) (3) =A 则称是A的一个划分, 称中的元素为A的划分块.,10,例题,例1 设Aa, b, c, d, 给定1,2,3,4,5,6如下： 1= a, b, c, d ， 2= a, b, c, d 3= a, a, b, c,
5、d , 4= a, b, c 5= ,a, b, c, d , 6= a, a, b, c, d 则1和2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分. 为什么？,11,等价关系与划分的一一对应,商集 A/R 就是 A 的一个划分 不同的商集对应于不同的划分 任给 A 的一个划分, 如下定义 A 上的关系 R： R = | x,yAx 与 y 在的同一划分块中则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集就是.,例2 给出A1,2,3上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系.,12,等价关系与划分之间的对应,1,2和3分别对应等价关系 R1, R2 和 R
6、3. R1=,IA，R2=,IA R3=,IA,4 对应于全域关系 EA，5 对应于恒等关系 IA,13,实例,例3 设 A=1, 2, 3, 4，在 AA上定义二元关系R： ,R x+y = u+v，求 R 导出的划分.,解 AA=, , , , , , , , , , , , , ,14,实例（续）,根据 的 x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将AA划分成7个等价类： (AA)/R= , , , , , , , , , , , , , , ,15,偏序关系,定义 非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作. 设为偏序关系, 如果, 则记作 xy, 读作 x“
7、小于或等于”y. 实例 集合A上的恒等关系 IA 是A上的偏序关系. 小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.,16,相关概念,x与 y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系, x,yA, x与y可比 xy yx.结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况： xy (或yx), xy, x与y不是可比的.全序关系： R为非空集合A上的偏序, x,yA, x与 y 都是可比的，则称 R 为全序（或 线序）实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系,17,覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系, x, yA, 如果 x y且不存在 zA 使得 x z
8、 y, 则称 y 覆盖x.实例： 1, 2, 4, 6 集合上的整除关系, 2 覆盖 1, 4 和 6 覆盖 2. 4 不覆盖 1.,相关概念（续）,18,偏序集与哈斯图,定义 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集, 记作 .实例：整数集和小于等于关系构成偏序集，幂集P(A)和包含关系构成偏序集. 哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边,19,哈斯图实例,例4 ,20,A=a, b, c, d, e, f, g, h R=,IA,哈斯图实例（续）,例5 已知偏
9、序集的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系R的表达式.,21,偏序集的特定元素,定义 设为偏序集, BA, yB.(1) 若x(xByx) 成立, 则称 y 为 B 的最小元.(2) 若x(xBxy) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (xBx y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (xBy x) 成立, 则称 y 为B的极大元.,22,特殊元素的性质,对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在 多个. 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元，也是极大元.,23,定义 设为偏序集, BA,
10、yA. (1) 若x(xBxy) 成立, 则称 y 为B的上界. (2) 若x(xByx) 成立, 则称 y 为B的下界. (3) 令Cy | y为B的上界, 则称C的最小元为B的最小上界 或 上确界. (4) 令Dy | y为B的下界, 则称D的最大元为B的最大下界 或 下确界.,偏序集的特定元素(续),24,下界、上界、下确界、上确界不一定存在下界、上界存在不一定惟一下确界、上确界如果存在，则惟一集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对.,特殊元素的性质,25,实例,例6 设偏序集如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设 Bb,c,d, 求 B 的下界、上界、下确界、上确界.,极小元：a, b, c, g；极大元：a, f, h；没有最小元与最大元.B的下界和最大下界都不存在, 上界有d 和 f, 最小上界为 d.,
